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一、判断某个系统是否是 “ 线性 “ 系统

系统 TTT 是 " 时不变系统 " , 输入序列 与 输出序列 如下图所示 :

输入为 x1(n)x_1(n)x1​(n) 序列时 , 输出是 y1(n)y_1(n)y1​(n) 序列 ;

输入为 x2(n)x_2(n)x2​(n) 序列时 , 输出是 y2(n)y_2(n)y2​(n) 序列 ;

输入为 x3(n)x_3(n)x3​(n) 序列时 , 输出是 y3(n)y_3(n)y3​(n) 序列 ;

判断上图中的系统 TTT 是是否是 线性系统 ;

当系统为 T[δ(n)]T[\delta(n)]T[δ(n)] 时 , 输出是什么 ;

x1(n)=δ(n)+2δ(n−1)x_1(n) = \delta(n) + 2\delta(n - 1)x1​(n)=δ(n)+2δ(n−1) , y1(n)=2δ(n−1)+3δ(n−2)y_1(n) = 2\delta(n - 1) + 3 \delta(n - 2)y1​(n)=2δ(n−1)+3δ(n−2)

x2(n)=2δ(n−1)x_2(n) = 2 \delta(n - 1)x2​(n)=2δ(n−1) , y2(n)=2δ(n−2)+4δ(n−3)y_2(n) = 2\delta(n - 2) + 4 \delta(n - 3)y2​(n)=2δ(n−2)+4δ(n−3)

x3(n)=δ(n−4)x_3(n) = \delta(n - 4)x3​(n)=δ(n−4) , y3(n)=2δ(n+1)+3δ(n+2)y_3(n) = 2\delta(n + 1) + 3 \delta(n + 2)y3​(n)=2δ(n+1)+3δ(n+2)

x1(n)=x2(n)+x3(n+4)x_1(n) = x_2(n) + x_3(n + 4)x1​(n)=x2​(n)+x3​(n+4) , 令 x1(n)x_1(n)x1​(n) 中的 δ(n)\delta(n)δ(n) 等于 x3(n)x_3(n)x3​(n) 中的 δ(n−4)\delta(n - 4)δ(n−4) , 向左移 444 即可 ;

在该系统是 " 时不变 " 系统的前提下 , 如果 y1(n)=y2(n)+y3(n+4)y_1(n) = y_2(n) + y_3(n + 4)y1​(n)=y2​(n)+y3​(n+4) , 那么说明该系统是 " 线性 " 系统 ;

y1(n)=y2(n)+y3(n+4)y_1(n) = y_2(n) + y_3(n + 4)y1​(n)=y2​(n)+y3​(n+4)

y2(n)+y3(n+4)=2δ(n−2)+4δ(n−3)+2δ(n+5)+3δ(n+6)y_2(n) + y_3(n + 4) =2\delta(n - 2) + 4 \delta(n - 3) + 2\delta(n + 5) + 3 \delta(n + 6)y2​(n)+y3​(n+4)=2δ(n−2)+4δ(n−3)+2δ(n+5)+3δ(n+6) , 明显不等于 y1(n)=2δ(n−1)+3δ(n−2)y_1(n) = 2\delta(n - 1) + 3 \delta(n - 2)y1​(n)=2δ(n−1)+3δ(n−2) ;

该系统 , 不是 " 线性 " 系统 ;

T[δ(n)]T[\delta(n)]T[δ(n)] 系统中 , 如果 输入是 δ(n)\delta(n)δ(n) 序列 , 则对应的 " 变换 " 后的输出是 y3(n+4)=2δ(n+5)+3δ(n+6)y_3(n + 4) = 2\delta(n + 5) + 3 \delta(n + 6)y3​(n+4)=2δ(n+5)+3δ(n+6) , 得到如下公式 :

T[δ(n)]=2δ(n+5)+3δ(n+6)T[\delta(n)] = 2\delta(n + 5) + 3 \delta(n + 6)T[δ(n)]=2δ(n+5)+3δ(n+6)