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一、序列傅里叶变换实例

求序列

x(n)=RN(n)①x(n) = R_N(n) \ \ \ \ ①x(n)=RN​(n)①

的 序列傅里叶变换 SFT ;

1、傅里叶变换

傅里叶变换公式 :根据 x(n)x(n)x(n) 序列 求 X(ejω)傅里叶变换X(e^{j\omega}) 傅里叶变换X(ejω)傅里叶变换 ,

X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωn②X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} \ \ \ \ ②X(ejω)=n=−∞∑+∞​x(n)e−jωn②

将 ① 带入到 ② 傅里叶变换 公式中 , nnn 的取值范围是 [0,N−1][0, N-1][0,N−1] ,

X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωn=∑n=0N−1e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} = \sum_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞​x(n)e−jωn=n=0∑N−1​e−jωn

根据 " 等比级数求和 " 公式 , Sn=a1+a2+a3+⋯+an=a1(1−qn)1−qS_n = a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n = \cfrac{a_1 (1 - q^n)}{1 - q}Sn​=a1​+a2​+a3​+⋯+an​=1−qa1​(1−qn)​ , ( 公比为 q ) , 一共有 NNN 项 ,

X(ejω)=1−e−jωn1−e−jωX(e^{j\omega}) = \cfrac{1-e^{-j\omega n}}{1-e^{-j\omega}}X(ejω)=1−e−jω1−e−jωn​

写成如下样式 , 是为了方便编程 ,

X(ejω)=e−jωN−12sin⁡(ωN2)sin⁡(ω2)X(e^{j\omega}) = e^{-j\omega \cfrac{N-1}{2}} \cfrac{ \sin( \cfrac{\omega N}{2} ) }{ \sin( \cfrac{\omega }{2} )}X(ejω)=e−jω2N−1​sin(2ω​)sin(2ωN​)​

矩形窗序列 方便 计算机处理 , 将序列截断后只处理有限个序列比较容易 ,

将 信号 取一段数据 , 相当于 信号 乘以 矩形窗序列 ;

SFT[RN(n)]=Nω=0SFT[R_N(n)] = N \ \ \ \ \omega = 0SFT[RN​(n)]=Nω=0

SFT[RN(n)]=0ω=2πkN,k=±1,±2,⋯SFT[R_N(n)] = 0 \ \ \ \ \omega = \cfrac{2\pi k}{N} , k = \pm1 , \pm2 , \cdotsSFT[RN​(n)]=0ω=N2πk​,k=±1,±2,⋯

绘制 SFT[RN(n)]SFT[R_N(n)]SFT[RN​(n)] 的坐标图 , 假设 N=4N = 4N=4 ,

当 ω=0\omega = 0ω=0 时 , SFT[R4(n)]=4SFT[R_4(n)] = 4SFT[R4​(n)]=4当 ω=2πkN=2πk4=πk2\omega = \cfrac{2\pi k}{N} = \cfrac{2\pi k}{4} = \cfrac{\pi k}{2}ω=N2πk​=42πk​=2πk​ 时 , SFT[R4(n)]=0SFT[R_4(n)] = 0SFT[R4​(n)]=0 , 第一个点是 π2\cfrac{\pi}{2}2π​ , 第二个点是 π\piπ , 如下图所示 ;

2、傅里叶变换幅频特性

幅频特性 :在 matlab 中绘制效果如下 , matlab 中取模后再绘制 ;

3、傅里叶变换相频特性

相频特性 :matlab 中绘制其 相频特性 ,

相频特性 , 主要看 X(ejω)=e−jωN−12sin⁡(ωN2)sin⁡(ω2)X(e^{j\omega}) = e^{-j\omega \cfrac{N-1}{2}} \cfrac{ \sin( \cfrac{\omega N}{2} ) }{ \sin( \cfrac{\omega }{2} )}X(ejω)=e−jω2N−1​sin(2ω​)sin(2ωN​)​ 中的 e−jωN−12e^{-j\omega \cfrac{N-1}{2}}e−jω2N−1​ 的正负号 ,

NNN 如果确定了 , N−12\cfrac{N-1}{2}2N−1​ 是常数 , 因此整个曲线是线性的 ,

锯齿形突变是因为 计算 sin⁡(ωN2)sin⁡(ω2)\cfrac{ \sin( \cfrac{\omega N}{2} ) }{ \sin( \cfrac{\omega }{2} )}sin(2ω​)sin(2ωN​)​ 时 , 正负号突然改变 ;

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