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一、傅里叶变换物理意义

x(n)x(n)x(n) 序列 的 傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 的 物理意义 :

傅里叶变换 :根据 x(n)x(n)x(n) 求 X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) ,

X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞​x(n)e−jωn

傅里叶反变换 :根据 X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 求 x(n)x(n)x(n) ,

x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωkdωx(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omegax(n)=2π1​∫−ππ​X(ejω)ejωkdω

注意上面的

x(n)x(n)x(n) 是 序列 ,X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 是 傅里叶变换 ;

傅里叶变换 物理意义是 反应 信号 在 整个 数字角频率 ω\omegaω 上的 能量 分布 的情况 ;

任何一个周期函数 , 都可以使用 sin⁡\sinsin 函数来组合 ;

任何一个函数 x(n)x(n)x(n) 序列 , 都可以使用

x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωkdωx(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omegax(n)=2π1​∫−ππ​X(ejω)ejωkdω

表示 ,

其中 ejωke^{j \omega k}ejωk 是 单位复指数序列 ,

X(ejω)X( e^{j \omega } )X(ejω) 是傅里叶变换 ,

∫−ππ\int_{-\pi} ^\pi∫−ππ​ 积分 表示 求和的极限过程 , 无数个 " 数字角频率 ω\omegaω " 在 [−π,π][-\pi , \pi][−π,π] 中 带有不同 加权系数 的 " 单位复指数序列 ejωne^{j\omega n}ejωn " 求和过程 ;

这些 " 复指数序列 " 代表 不同的 " 频率分量 " ,

加权系数 X(ejω)X( e^{j \omega } )X(ejω) 称为 x(n)x(n)x(n) 的 " 频谱密度函数 " ;

" x(n)x(n)x(n) 序列 " 的 " 序列傅里叶变换 SFT=X(ejω)SFT =X( e^{j \omega } )SFT=X(ejω) " , 本质上是 该 " x(n)x(n)x(n) 序列 " 的一种分解 ;

cos⁡ω0T\cos \omega_0Tcosω0​T 的 傅里叶变换 :

信号的所有能量都集中在 ω0\omega_0ω0​ 上 ,

傅里叶变换 反应 信号能量 在 频率 上的分布情况 ,

如果能量无穷 , 则在某个频率点的值是 无穷的 ;

【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 傅里叶变换物理意义 | 反应信号在整个数字角频率上的能量分布 )