快速傅里叶变换(FFT)
一、FFT出现的原因
对x（n）进行N点DFT计算，一共有N2 次乘法，N2次加法
如果N=1024，则有2*1048576次计算，计算量过于庞大。
FFT的思想就是：不断把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT，并利用WNkn的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。
二、DIT-FFT
（1）8点DFT一次时域抽取分解运算
经过一次分解后，计算1个N点DFT共需要计算两个N/2点DFT和N/2个蝶形运算。而计算一个N/2点DFT需要(N/2)2次复数乘法和N/2(N/2-1)次复数加法。仅仅经过一次分解，就使运算量减少近一半。
（2）8点DFT二次时域抽取分解运算
经过第二次分解，又将N/2点DFT分解为2个N/4点DFT和N/4个蝶形运算，而1点DFT就是时域序列本身。
（3）DIT-FFT与DFT运算量的比较
设N=2M ,有M级蝶形。每一级都由N/2个蝶形运算构成。每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加
下图显示了DIT-FFT与DFT运算量的比较，可以直观看出FFT算法的优越性。N越大时，优越性就越明显。
三、用Python实现FFT算法
import numpy as npfrom scipy.fftpack import fft, ifftimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.pylab import mplmpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 显示中文mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 显示负号# 采样点选择1400个x = np.linspace(0, 1, 1400)# 设置需要采样的信号，频率分量有200，400和600y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 200 * x) + 5 * np.sin(2 * np.pi * 400 * x) + 3 * np.sin(2 * np.pi * 600 * x)fft_y = fft(y) # 快速傅里叶变换N = 1400x = np.arange(N) # 频率个数half_x = x[range(int(N / 2))] # 取一半区间abs_y = np.abs(fft_y) # 取复数的绝对值，即复数的模(双边频谱)angle_y = np.angle(fft_y) # 取复数的角度normalization_y = abs_y / N # 归一化处理（双边频谱）normalization_half_y = normalization_y[range(int(N / 2))] # 由于对称性，只取一半区间（单边频谱）plt.subplot(411)plt.plot(x[0:50],y[0:50])plt.title('原始波形')plt.subplot(412)plt.plot(x, angle_y, 'violet')plt.title('双边相位谱', fontsize=9, color='violet')plt.subplot(413)plt.plot(x, normalization_y, 'g')plt.title('双边振幅谱', fontsize=9, color='green')plt.subplot(414)plt.plot(half_x, normalization_half_y, 'blue')plt.title('单边振幅谱', fontsize=9, color='blue')plt.show()
