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相关函数1 互相关和自相关函数的定义2 相关与卷积的比较相关函数
1 互相关和自相关函数的定义
为比较某信号与另一延时 τ τ τ的信号之间的相似度，需要引入相关函数的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。相关函数也称为相关积分，它与卷积的运算方法类似。
实函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t)和 f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)，如为能量有限信号，它们之间的互相关函数定义为:
(注: R 12 ， R 21 R_{12}，R_{21} R12，R21下脚数字(12,21),前面数字代表的信号领先 τ τ τ)
互相关函数是两信号之间时间差 τ τ τ的函数。一般 R 12 ( τ ) ≠ R 21 ( τ ) R_{12}(τ)≠ R_{21}(τ) R12(τ)=R21(τ)。
如果 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t)和 f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)是同一信号，可记为 f ( t ) f(t) f(t) ，这时无需区分 R 12 R_{12} R12与 R 21 R_{21} R21，用 R ( τ ) R(τ) R(τ)表示，称为自相关函数。即 ：
容易看出，对自相关函数有：
可见，实函数 f ( t ) f(t) f(t)的自相关函数是时移 τ τ τ的偶函数。
2 相关与卷积的比较
函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t)和 f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)卷积的表达式为：
f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( − ( τ − t ) ) d τ = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ f_{1}(t) * f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(-(\tau-t)) d \tau=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau f1(t)∗f2(t)=∫−∞∞f1(τ)f2(−(τ−t))dτ=∫−∞∞f1(τ)f2(t−τ)dτ
为了便于与卷积函数进行比较，我们将互相关函数定义式中的变量 t t t和 τ τ τ进行互换，可将实函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t)和 f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)的互相关函数写为：
R 12 ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( τ − t ) d τ R_{12}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(\tau-t) d \tau R12(t)=∫−∞∞f1(τ)f2(τ−t)dτ
两种运算的不同之处：卷积开始时需要将 f 2 ( τ ) f_2(τ) f2(τ)反折为 f 2 ( − τ ) f_2(-τ) f2(−τ)，而相关运算则不需反折，仍为 f 2 ( τ ) f_2(τ) f2(τ)。其他的移位、相乘和积分的运算方法相同
根据卷积的定义
可见
由上式可知，若 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t)和 f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)均为实偶函数，则卷积与相关的形式完全相同
《工程信号与系统》作者：郭宝龙等
国家精品课程：信号与系统 ，中国大学MOOC，郭宝龙，朱娟娟
