数字信号处理实验 序列的傅里叶变换和离散傅里叶变换及其关系

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实验一 序列的傅里叶变换和离散傅里叶变换及其关系

一、[实验目的]

1.掌握序列傅里叶变换 DTFT 的计算机实现方法；

2.掌握序列 DFT 基本理论及其计算机实现方法；

3.掌握序列傅里叶变换 DTFT 和序列 DFT 的关系；

4 .理 解 X k   DFT xn中k 值与 xn的实际角频率 之间的对应关系。

二、[实验原理]

1.有限长序列 xn的离散时间傅立叶变换对（DTFT）

有限长序列的离散傅里叶变换对 DFT

3.序列 DTFT 和 DFT 之间的关系

X(k)可看作是对序列 xn的傅氏变换 X e j 在0 ~ 2 区间上的N 点采样，采样间隔为2π/N。

三、[实验内容]

1.

DTFT函数如下：

function [Xejw]=dtft(xn,w)

N=length(xn);

Xejw=0; %赋初始值为零

for n=0:N-1;

Xejw=Xejw+xn(n+1).(exp(-jwn)); %累加

end

2.

DFT函数如下：

function [Xk]=dft(xn, N)

a=length(xn);

xn=[xn,zeros(1,N-a)]; %补零到N点，N点DFT

n=[0:1:N-1];

k=n;

WN=exp(-j2*pi/N);

nk=n’k; %矩阵相乘

WNnk=WN.^nk;

Xk=xnWNnk;

3.

幅频特性图如下：

代码如下：

clc,clear,close all

xn=[1 1 1 1];

N=length(xn);

w=0:0.01:6*pi;

n=0:N-1;

Xejw=dtft(xn,w);

subplot(1,2,1);

stem(n,xn);

title(‘x(n)’)

xlabel(‘n’)

ylabel(‘x(n)’)

subplot(1,2,2)

plot(w/pi,abs(Xejw));

title(‘Xejw的幅频特性’)

xlabel(‘w/pi’)

ylabel(’|Xejw|’)

有限长序列的频谱有何特性？

有限长离散序列的频谱是连续周期的；有限长连续序列的频谱是连续非周期的。

4.（1）

幅度谱的比较图如下：

代码如下：

clc,clear,close all

b=zeros(1,28);

xn=[1 1 1 1];

N=length(xn);

xn1=[xn,b];

N1=length(xn1)

w=0:0.01:2*pi;

n=0:N-1;

n1=0:N1-1;

Xejw=dtft(xn,w);

Xejw1=dtft(xn1,w);

subplot(2,2,1);

stem(n,xn);

title(‘x(n)’)

xlabel(‘n’)

ylabel(‘x(n)’)

subplot(2,2,2)

plot(w/pi,abs(Xejw));

title(‘Xejw的幅频特性’)

xlabel(‘w/pi’)

ylabel(’|Xejw|’)

subplot(2,2,3);

stem(n1,xn1);

title(‘x1(n)’)

xlabel(‘n’)

ylabel(‘x1(n)’)

subplot(2,2,4)

plot(w/pi,abs(Xejw1));

title(‘X1ejw的幅频特性’)

xlabel(‘w/pi’)

ylabel(’|X1ejw|’)

原序列及其补零后序列的 DTFT 是否相同？

原序列及其补零后序列的 DTFT 是相同的，因为DTFT的计算仅与信号的有限长度有关。

（2）

对比图如下：

代码如下：

clc,clear,close all

xn=[1 1 1 1];

N=length(xn);

w=0:0.01:2pi;

n=0:N-1;

N4=4;

k4=0:N4-1;

N32=32;

k32=0:N32-1;

Xejw=dtft(xn,w);

Xk4=dft(xn,N4);

Xk32=dft(xn,N32);

subplot(3,1,1)

plot(w/pi,abs(Xejw));

title(‘Xejw的幅频特性’)

xlabel(‘w/pi’)

ylabel(’|Xejw|’)

subplot(3,1,2)

stem(2k4/N4,abs(Xk4))%单位归一

title(‘xn的4点DFT’)

xlabel('2k/N’)

ylabel(‘X4(k)’)

axis([0 2 0 4])

subplot(3,1,3)

stem(2k32/N32,abs(Xk32))

title(‘xn的32点DFT’)

xlabel(‘2*k/N’)

ylabel(‘X32(k)’)

序列补零的方法能否减少栅栏效应？能否提高频率分辨率？

补零的方法可以减少栅栏效应，但是不能提高分辨率，因为采样频率和信号的有效长度没有改变。

四、[思考题]

1． xn的 N 点 DFT X k 中，序号k 代表的实际角频率k 是多少？

实际角频率ωk=（2π/N）k。