时域的循环卷积等于频域的离散傅里叶变换，离散傅里叶变换DFT是离散傅里叶级数DFS的一个周期，离散傅里叶级数DFS是对连续时间傅里叶变换CTFT的采样

离散傅里叶级数DFS

周期为10的方波信号的傅里叶级数，以10为周期向两边无限复制拓展信号的傅里叶级数。

注意上图中x[n]上面的“~”号，那个就是周期函数的意思。以N为周期的周期信号在0~N-1这一个周期内等于x[n]。

离散傅里叶级数DFS的系数是对离散傅里叶变换DFT的采样：

对一个离散非周期序列x[n]的傅里叶变换采样的结果等于，将x[n]无限周期重复而得到的一个周期信号的离散傅里叶级数DFS的系数。

离散傅里叶级数DFS的系数等同于对Z变换单位圆上的采样（傅里叶变换等于z变换单位圆上的值）：

若，周期序列的周期为N，那么与之对应的对傅里叶变换进行采样的间隔为2Pi/N。

循环卷积circular convolution

线性卷积：x1和x2分别是两个长度为6的方波信号，x3是他们的线性卷积，线性卷积的长度为L+P-1=11.

N点的循环卷积：图c和图d分别是线性卷积的结果x3，向左和向右移动6个单位的结果。而,图e和图f，分别是N=6点的循环卷积和N=12点的循环卷积的结果。

可见，对于N=6点的循环卷积，图e，来说，循环卷积的结果等于b(x3[n]),c(x3[n-N]),d(x3[n+N])，在区间n=0~N-1上的和。此时，循环卷积的点数N<L+P-1。

而，对于N=12点的循环卷积，图f，来说，循环卷积的结果等于正好等于线性卷积的结果，等于c。此时，循环卷积的点数N>=L+P-1。

上图说明，对于N个点的循环卷积，当N=L=P时，循环卷积的结果完全不同于线性卷积。当N>=L+P-1时，循环卷积的结果正好等于线性卷积，这时没有发生混叠。但是，对于长度不同的两个信号P<L而言，同样做N=L点的循环卷积，结果会有些不同。

图为两个长度不同的信号的线性卷积，P<L。

图为L点循环卷积的结果，和原来一样，循环卷积的结果等于a(x3[n]),b(x3[n+L]),c(x3[n-L])，在区间n=0~L-1上的和，因L>P，此时c不再对循环卷积的结果有贡献。

(全文完)

作者 --- 松下J27

格言摘抄：

《读书要三到》

朱熹

“凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见”。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。心不在此，则眼不看仔细，心眼既不专一，却只漫浪诵读，决不能记，记亦不能久也。三到之中，心到最急。心既到矣，眼口岂不到乎？”

鸣谢（参考文献）：

1，信号与系统 --- 奥本海姆

2，离散时间信号处理 ---奥本海姆

(*配图与本文无关*)

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