信号与系统_线性时不变系统

定义

时不变性:如果在输入信号上有一个时移,而在输出信号中产生同样的时移,那么这个系统就是时不变的.也就是说,若 y[n] y [ n ] 是一个离散时间时不变系统在输入为 x[n] x [ n ] 时的输入,那么当输入为 x[n−n0] x [ n − n 0 ] 时,输入就是 y[n−n0] y [ n − n 0 ] .线性:令 y1(t) y 1 ( t ) , y2(t) y 2 ( t ) 分别为连续时间系统对 x1(t) x 1 ( t ) , x2(t) x 2 ( t ) 的响应,则对一个线性系统,有:

y1(t)+y2(t) y 1 ( t ) + y 2 ( t ) 是对 x1(t)+x2(t) x 1 ( t ) + x 2 ( t ) 的响应 ay1(t) a y 1 ( t ) 是对 ax1(t) a x 1 ( t ) 的响应,其中 a a 为任意复常数无记忆系统:一个系统的输出仅仅取决于该时刻的输入,这个系统就称为无记忆系统因果性:如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入和过去的输入,则该系统就称为因果系统奇异函数:函数本身有不连续点(跳跃点)或其导数和积分有不连续点的一类函数.

卷积和

公式

离散系统

(1)y[n]=∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]=x[k]∗h[k]" role="presentation">y[n]=∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]=x[k]∗h[k](1)(1)y[n]=∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]=x[k]∗h[k]

h[k] h [ k ] 为 y[k] y [ k ] 的单位冲激响应连续系统

y[t]=∫+∞−∞x[τ]h[t−τ]dτ=x[t]∗h[t](2) (2) y [ t ] = ∫ − ∞ + ∞ x [ τ ] h [ t − τ ] d τ = x [ t ] ∗ h [ t ]

h[t] h [ t ] 为 y[t] y [ t ] 的单位冲激响应

结论

一个线性时不变系统的特性可以完全由它的冲激响应来决定