PS: 本篇文章为台大机器人学学习笔记，B站视频链接如下：
/video/BV1v4411H7ez?p=7
1. 刚体（rigid body）状态描述：
（DOF：degree of freedom，自由度）
（1）在大地坐标系（{W}， world frame）下：
–> 在空间中，用6个参数表示刚体运动状态。
（2） 如何整合表示刚体状态：
进一步，在刚体的定点(多为质心)上建立坐标系（{B}，body frame）：
（3） 刚体的连动状态如何描述：
利用各个（6个）DOF的微分，将位移（displacement）和姿态(orientation)**转换到速度（velocity）和加速度(acceleration)**等连动状态：
2. 刚体移动描述：
（1）移动：
用向量P P ⃗ = [ P x P y P z ] \vec P = \left[ \begin{array}{l} {P_x}\\ {P_y}\\ {P_z} \end{array} \right] P =⎣⎡PxPyPz⎦⎤描述原点的状态变化：
（2）向量可表达空间关系的两个方式：
① 表示body frame的原点
② 表示body frame 的方向
3. 刚体转动描述：
描述{B}相对{A}的姿态： rotation matrix
（由于对于机械臂来说关节多，因此这里先用A来表示固定的坐标系，而不用W）
公式描述：
左上角为基准：B在A坐标系下的描述； R R R的三个分量为由{A}看{B}的三个basis： X ^ B , Y ^ B , Z ^ B \hat{X}_B,\hat{Y}_B,\hat{Z}_B X^B,Y^B,Z^B
投影的角度：将 X ^ B , Y ^ B , Z ^ B \hat{X}_B,\hat{Y}_B,\hat{Z}_B X^B,Y^B,Z^B分别分解到 A A A坐标系下；
4 R的特性
4.1 R描述一个frame的姿态
（1）特性
①
X ^ B ⋅ Y ^ A \hat{X}_{B} \cdot \hat{Y}_{A} X^B⋅Y^A为内积，内积前后互换无影响，结果为数字，因此可以对所有内积做前后互换，得到：
即：
B A R = A B R T {}_{B}^{A}R={}_{A}^{B}{{R}^{T}} BAR=ABRT
②
即：
B A R = A B R T = A B R − 1 _{B}^{A}R=_{A}^{B}{{R}^{T}}=_{A}^{B}{{R}^{-1}} BAR=ABRT=ABR−1
（2）特性总结
符合正交矩阵（orthogonal matrix）Q特性：Q Q T = Q T Q = I , Q − 1 = Q T QQ^{T}=Q^{T}Q=I,Q^{-1}=Q^{T} QQT=QTQ=I,Q−1=QT矩阵中的列向量：长度为1；两两互相垂直。 R R R包含9个数字，但上述内容包含6个条件，即 R R R中只包含了三个自由度，对应了空间中转动只具有3DOFs
4.2 R描述转换关系
向量 P P P:
B P = B P x X ^ B + B P y Y ^ B + B P z Z ^ B , ^{B}P=^{B}P_{x} \hat{X}_{B}+^{B}P_{y} \hat{Y}_{B}+^{B}P_{z} \hat{Z}_{B}, BP=BPxX^B+BPyY^B+BPzZ^B,
A P = A P x X ^ A + A P y Y ^ A + A P z Z ^ A ^{A}P=^{A}P_{x} \hat{X}_{A}+^{A}P_{y} \hat{Y}_{A}+^{A}P_{z} \hat{Z}_{A} AP=APxX^A+APyY^A+APzZ^A
其中， A P x , A P y ^{A}P_{x},^{A}P_{y} APx,APy等表示在对应方向上的长度。
进一步，可以将 A P x ^{A}P_{x} APx展开为：( B P ^{B}P BP带入上式)
A P x = B P ⋅ X ^ A = X ^ B ⋅ X ^ A B P x + Y ^ B ⋅ X ^ A B P y + Z ^ B ⋅ X ^ A B P z ^{A}P_{x}= ^{B}P \cdot \hat{X}_{A} =\hat{X}_{B} \cdot \hat{X}_{A} {}^{B}P_{x}+\hat{Y}_{B} \cdot \hat{X}_{A} {}^{B}P_{y}+\hat{Z}_{B} \cdot \hat{X}_{A} {}^{B}P_{z} APx=BP⋅X^A=X^B⋅X^ABPx+Y^B⋅X^ABPy+Z^B⋅X^ABPz
同理可得 A P y , A P z ^{A}P_{y},^{A}P_{z} APy,APz，
进一步有：
即有：
A P = B A R B P , {}^{A}P={}^{A}_{B}R {}^{B}P, AP=BARBP,
B P {}^{B}P BP为 P P P在{B}下的表达。
功能：使用 R R R, 将某坐标点从某个frame转到另一个frame。
4.3 R描述物体转动状态
以 B A R {}^{A}_{B}R BAR等于 X ^ B , Y ^ B , Z ^ B \hat{X}_{B},\hat{Y}_{B},\hat{Z}_{B} X^B,Y^B,Z^B三个向量在 A {A} A的投影得到的列向量拼接为基础，可以得到以 Z ^ A \hat{Z}_{A} Z^A为旋转轴， θ \theta θ为旋转角度的表示（角度由于常用所以进一步进行简写）：
绕 X ^ A \hat{X}_{A} X^A有：
绕 Y ^ A \hat{Y}_{A} Y^A有：
