【现代控制理论基础】一 线性系统的状态空间描述

Author：AXYZdong 自动化专业 工科男

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文章目录

1.1 状态空间分析法1.2 状态结构图1.3 状态空间描述的建立1.3.1 由系统框图建立空间状态描述1.3.2 由系统机理建立空间状态描述1.4 化输入-输出描述为状态空间描述及其几种标准形式1.4.1 传递函数没有零点的实现1.4.2 传递函数有零点的实现1.5 由状态空间表达式求传递函数阵1.6 状态矢量的线性变换1.6.1 系统状态空间表达式的非唯一性1.6.2 系统特征值的不变性及系统的不变量1.6.3 状态空间表达式变换为约旦标准型参考文献

1.1 状态空间分析法

状态变量

一组变量→{1、足以完全确定系统运动状态2、个数又是最小一组变量 \to \begin{cases} 1、足以完全确定系统运动状态 \\ 2、个数又是最小 \end{cases} 一组变量→{1、足以完全确定系统运动状态2、个数又是最小​

性质：{1、xt=t02、t≥t0时刻的输入It→完全确定在任何t≥t0时刻的状态xt性质： \begin{cases} 1、x_{t=t_0} \\ 2、t \geq t_0 时刻的输入I_t \end{cases} \to完全确定在任何t \geq t_0 时刻的状态 x_t 性质：{1、xt=t0​​2、t≥t0​时刻的输入It​​→完全确定在任何t≥t0​时刻的状态xt​

类似于函数：xt=f(xt0,It)x_t=f(x_{t_0},I_t)xt​=f(xt0​​,It​)状态矢量

如果 nnn 个状态变量用 x1(t),x2(t),...,xn(t)x_1(t),x_2(t),...,x_n(t)x1​(t),x2​(t),...,xn​(t) 表示，并把这些状态变量看作是矢量 x(t)x(t)x(t) 的分量，则称 x(t)x(t)x(t)为状态矢量，记作：

x(t)=(x1(t)x2(t)⋮xn(t))x(t)=\begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t)\\ \vdots \\ x_n(t) \\ \end{pmatrix} x(t)=⎝⎜⎜⎜⎛​x1​(t)x2​(t)⋮xn​(t)​⎠⎟⎟⎟⎞​状态空间

以状态变量用 x1(t),x2(t),...,xn(t)x_1(t),x_2(t),...,x_n(t)x1​(t),x2​(t),...,xn​(t) 为坐标轴所构成的 nnn 维空间，称为状态空间。状态方程

由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态空间。

例：以 R−L−CR-L-CR−L−C 电路说明如何用状态变量描述系统

▲ 图1

有一阶微分方程组：{C⋅ducdt=iL⋅didt+Ri+uc=u⟹{uˊc=1C⋅iiˊ=−1Luc−RLi+1Lu(1)有一阶微分方程组： \begin{cases} C\cdot\frac{du_c}{dt}=i \\[2ex] L\cdot\frac{di}{dt}+Ri+u_c=u \end{cases} \implies \begin{cases} \acute{u}_c=\frac{1}{C}\cdot i \\[2ex] \acute{i}=-\frac{1}{L}u_c-\frac{R}{L}i+\frac{1}{L}u \end{cases} \tag1 有一阶微分方程组：⎩⎨⎧​C⋅dtduc​​=iL⋅dtdi​+Ri+uc​=u​⟹⎩⎨⎧​uˊc​=C1​⋅iiˊ=−L1​uc​−LR​i+L1​u​(1)

令{x1=ucx2=i⟹(x1ˊx2ˊ)=(01C−1L−RL)(x1x2)+(01L)u(2)令 \begin{cases} x_1=u_c \\[2ex] x_2=i \end{cases} \implies \begin{pmatrix} \acute{x_1}\\[2ex] \acute{x_2}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \large\frac{1}{C}\\[2ex] \large-\frac{1}{L} & \large-\frac{R}{L}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\[2ex] x_2\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\[2ex] \large\frac{1}{L}\\ \end{pmatrix}u \tag2 令⎩⎨⎧​x1​=uc​x2​=i​⟹(x1​ˊ​x2​ˊ​​)=⎝⎛​0−L1​​C1​−LR​​⎠⎞​(x1​x2​​)+⎝⎛​0L1​​⎠⎞​u(2)

或：xˊ=Ax+bu或 ： \acute{x}=Ax+bu 或：xˊ=Ax+bu

其中：xˊ=(x1ˊx2ˊ)，A=(01C−1L−RL)，b=(01L)其中：\acute{x}= \begin{pmatrix} \acute{x_1}\\[2ex] \acute{x_2}\\ \end{pmatrix}， A= \begin{pmatrix} 0 & \large\frac{1}{C}\\[2ex] \large-\frac{1}{L} & \large-\frac{R}{L}\\ \end{pmatrix}， b= \begin{pmatrix} 0\\[2ex] \large\frac{1}{L}\\ \end{pmatrix} 其中：xˊ=(x1​ˊ​x2​ˊ​​)，A=⎝⎛​0−L1​​C1​−LR​​⎠⎞​，b=⎝⎛​0L1​​⎠⎞​

上述（1）和（2）式分别为图1中系统的状态方程和状态方程的矩阵表达形式。

输出方程

在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。

在例中系统中，若指定 x1=ucx_1=u_cx1​=uc​ ，则输出方程 y=ucy=u_cy=uc​ 或：y=x1(3)或： y=x_1\tag3或：y=x1​(3)

矩阵表示形式：

y=(1,0)(x1x2)(4)y= \begin{pmatrix} 1,0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}\tag4 y=(1,0​)(x1​x2​​)(4)状态空间表达式

状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态描述称为系统的状态空间表达式。

如式（1）和式（3）所示，而式（2）和式（4）就是图1系统的状态空间表达式。单输入——单输出定常系统，矢量矩阵表示时的状态空间表达式为：

xˊ=Ax+buy=cx(5)\acute{x}=Ax+bu\\ y=cx \tag5 xˊ=Ax+buy=cx(5)

式中，x=(x1x2⋮xn)为n维状态矢量；A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann)为系统内部状态的联系，称为系统矩阵,为n×n方阵；b=(b1b2⋮bn)为输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，这里为n×1的列阵；c=(c1,c2,...,cn)为输出矩阵，这里为1×n的行阵。x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix} 为 n 维状态矢量；\\[3ex] A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}为系统内部状态的联系，称为系统矩阵,为n\times n方阵； \\[3ex] b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ \vdots \\ b_n \\ \end{pmatrix} 为输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，这里为n\times 1的列阵； \\[3ex] c=\begin{pmatrix} c_1 , c_2 ,...,c_n \\ \end{pmatrix} 为输出矩阵，这里为1\times n的行阵。 x=⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎞​为n维状态矢量；A=⎝⎜⎜⎜⎛​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​⎠⎟⎟⎟⎞​为系统内部状态的联系，称为系统矩阵,为n×n方阵；b=⎝⎜⎜⎜⎛​b1​b2​⋮bn​​⎠⎟⎟⎟⎞​为输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，这里为n×1的列阵；c=(c1​,c2​,...,cn​​)为输出矩阵，这里为1×n的行阵。多输入——多输出定常系统，矢量矩阵表示时的状态空间表达式为：

xˊ=Ax+Buy=Cx+Du(6)\acute{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\tag6 xˊ=Ax+Buy=Cx+Du(6)

式中，x和A同单输入系统，分别n维状态矢量和n×n系统矩阵式中，x和 A同单输入系统，分别n维状态矢量和n\times n系统矩阵式中，x和A同单输入系统，分别n维状态矢量和n×n系统矩阵

u=(u1u2⋮ur)为r维输入矢量；y=(y1y2⋮ym)为m维输出矢量；B=(b11b12⋯b1rb21b22⋯b2r⋮⋮⋱⋮bn1bn2⋯bnr)为n×r输入矩阵；C=(c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋮⋮⋱⋮cm1cm2⋯cmn)为m×n输出矩阵；D=(d11d12⋯d1rd21d22⋯d2r⋮⋮⋱⋮dm1dm2⋯dmr)为m×r直接传递矩阵。为了简便，一般不考虑输入矢量的直接传递，即令D=0u=\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2\\ \vdots \\ u_r \\ \end{pmatrix} 为 r 维输入矢量； y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_m \\ \end{pmatrix} 为 m 维输出矢量；\\[3ex] B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1r} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nr} \\ \end{pmatrix}为n\times r输入矩阵；\\[3ex] C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mn} \\ \end{pmatrix}为m\times n输出矩阵； \\[3ex] D=\begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} & \cdots & d_{1r} \\ d_{21} & d_{22} & \cdots & d_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{m1} & d_{m2} & \cdots & d_{mr} \\ \end{pmatrix}为m\times r直接传递矩阵。\\[2ex] 为了简便，一般不考虑输入矢量的直接传递，即令D=0 u=⎝⎜⎜⎜⎛​u1​u2​⋮ur​​⎠⎟⎟⎟⎞​为r维输入矢量；y=⎝⎜⎜⎜⎛​y1​y2​⋮ym​​⎠⎟⎟⎟⎞​为m维输出矢量；B=⎝⎜⎜⎜⎛​b11​b21​⋮bn1​​b12​b22​⋮bn2​​⋯⋯⋱⋯​b1r​b2r​⋮bnr​​⎠⎟⎟⎟⎞​为n×r输入矩阵；C=⎝⎜⎜⎜⎛​c11​c21​⋮cm1​​c12​c22​⋮cm2​​⋯⋯⋱⋯​c1n​c2n​⋮cmn​​⎠⎟⎟⎟⎞​为m×n输出矩阵；D=⎝⎜⎜⎜⎛​d11​d21​⋮dm1​​d12​d22​⋮dm2​​⋯⋯⋱⋯​d1r​d2r​⋮dmr​​⎠⎟⎟⎟⎞​为m×r直接传递矩阵。为了简便，一般不考虑输入矢量的直接传递，即令D=0状态空间表达式的系统框图

▲ 式5框图▲ 式6框图图中单箭头表示标量信号，双箭头表示矢量信号。

1.2 状态结构图

状态空间描述的结构图绘图步骤：

画出所有积分器；（积分器的个数等于状态变量的个数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量）根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；用箭头将这些器件按照一定的顺序连接起来。

常用符号：

例：一阶标量微分方程：xˊ=ax+bu\acute{x}=ax+buxˊ=ax+bu

▲ 一阶标量微分方程模拟结构图

已知状态空间表达式

x1ˊ=x2x2ˊ=x3x3ˊ=−6x1−3x2−2x3+uy=x1+x2\acute{x_1}=x_2\\ \acute{x_2}=x_3\\ \acute{x_3}=-6x_1-3x_2-2x_3+u\\ y=x_1+x_2 x1​ˊ​=x2​x2​ˊ​=x3​x3​ˊ​=−6x1​−3x2​−2x3​+uy=x1​+x2​

则系统的模拟结构图为：

1.3 状态空间描述的建立

1.3.1 由系统框图建立空间状态描述

▲ a) 系统框图；b)系统模拟结构图

由图可知：

状态方程：{x1ˊ=K3T3x2x2ˊ=−1T2x2+K2T2x3x3ˊ=−1T1x3−K1K4T1x1+K1T1u输出方程：y=x1状态方程： \begin{cases} \acute{x_1}=\frac{K_3}{T_3}x_2\\[2ex] \acute{x_2}=-\frac{1}{T_2}x_2+\frac{K_2}{T_2}x_3\\[2ex] \acute{x_3}=-\frac{1}{T_1}x_3-\frac{K_1K_4}{T_1}x_1+\frac{K_1}{T_1}u\\ \end{cases}\\[2ex] 输出方程：y=x_1 状态方程：⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​x1​ˊ​=T3​K3​​x2​x2​ˊ​=−T2​1​x2​+T2​K2​​x3​x3​ˊ​=−T1​1​x3​−T1​K1​K4​​x1​+T1​K1​​u​输出方程：y=x1​

写成矢量矩阵形式：

xˊ=(0K3T300−1T2K2T2−K1K4T10−1T1)x+(00K1T1)uy=(1，0，0)x1\acute{x} = \begin{pmatrix} 0 & \large\frac{K_3}{T_3} & 0\\[2ex] 0 & \large-\frac{1}{T_2} & \large\frac{K_2}{T_2}\\[2ex] \large-\frac{K_1K_4}{T_1} & 0 & \large-\frac{1}{T_1} \\ \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0\\[2ex] 0\\[2ex] \large\frac{K_1}{T_1}\\ \end{pmatrix}u \\[2ex] y= \begin{pmatrix} 1 ， 0， 0 \end{pmatrix}x_1 xˊ=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​00−T1​K1​K4​​​T3​K3​​−T2​1​0​0T2​K2​​−T1​1​​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​x+⎝⎜⎜⎜⎛​00T1​K1​​​⎠⎟⎟⎟⎞​uy=(1，0，0​)x1​

注：带零点环节的处理方法

先展开部分分式得到等效方块图再变换成模拟结构图

s+zs+p=1+z−ps+p\frac{s+z}{s+p}=1+\frac{z-p}{s+p}s+ps+z​=1+s+pz−p​

1.3.2 由系统机理建立空间状态描述

步骤：

根据系统机理建立微分方程或者差分方程选择有关的物理量作为状态变量导出状态空间表达式

例：电网络如图所示，输入量为电流源，并指定电容 C1C_1C1​ 和 C2C_2C2​ 上的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式。

解：从节点 a、b、ca、b、ca、b、c ，按基尔霍夫电流定律列出电流方程：

{i+i3+i1−C2uc2ˊ=0C1uc1ˊ+i1+i2=0C2uc2ˊ+i2−i4=0\begin{cases} i+i_3+i_1-C_2\acute{u_{c2}}=0\\[2ex] C_1\acute{u_{c1}}+i_1+i_2=0\\[2ex] C_2\acute{u_{c2}}+i_2-i_4=0\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​i+i3​+i1​−C2​uc2​ˊ​=0C1​uc1​ˊ​+i1​+i2​=0C2​uc2​ˊ​+i2​−i4​=0​

选取状态变量：

x=(x1x2x3x4)=(uc1uc2i1i2)x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \\ x_4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{c_1} \\ u_{c_2}\\ i_1 \\ i_2 \\ \end{pmatrix} x=⎝⎜⎜⎛​x1​x2​x3​x4​​⎠⎟⎟⎞​=⎝⎜⎜⎛​uc1​​uc2​​i1​i2​​⎠⎟⎟⎞​

上述电流方程则变为：

{i+i3+x3−C2x2ˊ=0C1x1ˊ+x3+x4=0C2x2ˊ+x4−i4=0(7)\begin{cases} i+i_3+x_3-C_2\acute{x_2}=0\\[2ex] C_1\acute{x_1}+x_3+x_4=0\\[2ex] C_2\acute{x_2}+x_4-i_4=0\\ \end{cases}\tag7 ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​i+i3​+x3​−C2​x2​ˊ​=0C1​x1​ˊ​+x3​+x4​=0C2​x2​ˊ​+x4​−i4​=0​(7)

从回路 l1、l2、l3l_1、l_2、l_3l1​、l2​、l3​ ，按基尔霍夫电压定律列出电压方程：

{−L1x3ˊ+x1+R1i3=0−x1+L2x4ˊ+R2i4=0x2−L2x4ˊ+L1x3ˊ=0(8)\begin{cases} -L_1\acute{x_3}+x_1+R_1i_3=0\\[2ex] -x_1+L_2\acute{x_4}+R_2i_4=0\\[2ex] x_2-L_2\acute{x_4}+L_1\acute{x_3}=0\\ \end{cases}\tag8 ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​−L1​x3​ˊ​+x1​+R1​i3​=0−x1​+L2​x4​ˊ​+R2​i4​=0x2​−L2​x4​ˊ​+L1​x3​ˊ​=0​(8)

（7）和（8）式联立消去独立变量 i3、i4i_3、i_4i3​、i4​ 得：

{x1ˊ=−1C1x3−1C1x4R1C2x2ˊ−L1x3ˊ=−x1+R1x3+R1iR2C2x2ˊ+L2x4ˊ=x1−R2x4−Lx3ˊ+L2x4ˊ=x2(9)\begin{cases} \acute{x_1}=-\frac{1}{C_1}x_3-\frac{1}{C_1}x_4\\[2ex] R_1C_2\acute{x_2}-L_1\acute{x_3}=-x_1+R_1x_3+R_1i\\[2ex] R_2C_2\acute{x_2}+L_2\acute{x_4}=x_1-R_2x_4\\[2ex] -L\acute{x_3}+L_2\acute{x_4}=x_2 \end{cases}\tag9 ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​x1​ˊ​=−C1​1​x3​−C1​1​x4​R1​C2​x2​ˊ​−L1​x3​ˊ​=−x1​+R1​x3​+R1​iR2​C2​x2​ˊ​+L2​x4​ˊ​=x1​−R2​x4​−Lx3​ˊ​+L2​x4​ˊ​=x2​​(9)

（9）式解出 x1ˊ、x2ˊ、x3ˊ、x4ˊ\acute{x_1}、\acute{x_2}、\acute{x_3}、\acute{x_4}x1​ˊ​、x2​ˊ​、x3​ˊ​、x4​ˊ​，得到状态空间表达式：

1.4 化输入-输出描述为状态空间描述及其几种标准形式

1.4.1 传递函数没有零点的实现

系统微分方程为：

y(n)+an−1y(n−1)+...+a1yˊ+a0y=b0u(t)y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1\acute{y}+a_0y=b_0u(t)y(n)+an−1​y(n−1)+...+a1​yˊ​+a0​y=b0​u(t)

相应系统传递函数：

W(s)=b0sn+an−1sn−1+...+a1s+a0W(s)=\frac{b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0}W(s)=sn+an−1​sn−1+...+a1​s+a0​b0​​

可选取一组状态变量：

x1ˊ=x2x2ˊ=x3⋮xn−1ˊ=xnxnˊ=−a0x1−a1x2−...−an−2xn−1−an−1xn+u\acute{x_1}=x_2\\[2ex] \acute{x_2}=x_3\\ \vdots \\ \acute{x_{n-1}}=x_n\\[2ex] \acute{x_n}=-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-2}x_{n-1}-a_{n-1}x_n+u x1​ˊ​=x2​x2​ˊ​=x3​⋮xn−1​ˊ​=xn​xn​ˊ​=−a0​x1​−a1​x2​−...−an−2​xn−1​−an−1​xn​+u

输出方程：y=b0x1y=b_0x_1y=b0​x1​

表示成矩阵形式：

(x1ˊx2ˊ⋮xn−1ˊxnˊ)=(010⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1−a0−a1−a2⋯−an−1)(x1x2⋮xn−1xn)+(00⋮01)u(10)\begin{pmatrix} \acute{x_1} \\[2ex] \acute{x_2}\\[2ex] \vdots \\[2ex] \acute{x_{n-1}} \\[2ex] \acute{x_n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 &\cdots & 0 \\[2ex] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2ex] 0 & 0 & 0 &\cdots & 1 \\[2ex] -a_{0} & -a_{1} & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\[2ex] x_2\\[2ex] \vdots \\[2ex] x_{n-1}\\[2ex] x_n \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\[2ex] 0\\[2ex] \vdots \\[2ex] 0\\[2ex] 1 \\ \end{pmatrix}u\tag{10} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​x1​ˊ​x2​ˊ​⋮xn−1​ˊ​xn​ˊ​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​00⋮0−a0​​10⋮0−a1​​01⋮0−a2​​⋯⋯⋱⋯⋯​00⋮1−an−1​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn−1​xn​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​+⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​00⋮01​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​u(10)

xˊ=Ax+buy=(b0，0，0，⋯，0)x1\acute{x}=Ax+bu\\[2ex] y=\begin{pmatrix} b_0，0 ， 0，\cdots， 0 \end{pmatrix}x_1 \\[2ex] xˊ=Ax+buy=(b0​，0，0，⋯，0​)x1​

当矩阵A具有A=(010⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1−a0−a1−a2⋯−an−1)时，称为友矩阵。当矩阵 A 具有A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 &\cdots & 0 \\[2ex] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2ex] 0 & 0 & 0 &\cdots & 1 \\[2ex] -a_{0} & -a_{1} & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \\ \end{pmatrix}时，称为友矩阵。 当矩阵A具有A=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​00⋮0−a0​​10⋮0−a1​​01⋮0−a2​​⋯⋯⋱⋯⋯​00⋮1−an−1​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​时，称为友矩阵。

友矩阵的特点为：

主对角线上方元素均为1最后一行的元素可去任意值其余元素均为0▲ 系统模拟结构图

1.4.2 传递函数有零点的实现

系统微分方程为：

y(n)+an−1y(n−1)+...+a1yˊ+a0y=bmu(m)+bm−1u(m−1)+...+b1u+ˊb0uy^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1\acute{y}+a_0y=b_mu^{(m)}+b_{m-1}u^{(m-1)}+...+b_1\acute{u+}b_0uy(n)+an−1​y(n−1)+...+a1​yˊ​+a0​y=bm​u(m)+bm−1​u(m−1)+...+b1​u+ˊ​b0​u

相应系统传递函数：

W(s)=bmsm+bm−1sm−1+...+b1s+b0sn+an−1sn−1+...+a1s+a0，m≤nW(s)=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+...+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0}，m\leq nW(s)=sn+an−1​sn−1+...+a1​s+a0​bm​sm+bm−1​sm−1+...+b1​s+b0​​，m≤n

在这种包含有输人函数导数情况下的实现问题，与前述实现的不同点主要在于选取合适的结构，使得状态方程中不包含输入函数的导数项，否则将给求解和物理实现带来麻烦。

为了说明方便，又不失一般性，这里先从三阶微分方程出发，找出其实现规律，然后推广到 n 阶系统。

设系统传递函数：

W(s)=Y(s)U(s)=b3s3+b2s2+b1s+b0s3+a2s2+a1s+a0，m=n=3W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_3s^3+b_{2}s^{2}+b_1s+b_0}{s^3+a_{2}s^{2} +a_1s+a_0}，m=n=3W(s)=U(s)Y(s)​=s3+a2​s2+a1​s+a0​b3​s3+b2​s2+b1​s+b0​​，m=n=3

上式可变换为：

W(s)=b3+(b2−a2b3)s2+(b1−a1b3)s+(b0−a0b3)s3+a2s2+a1s+a0，m=n=3令：Y1(s)=1s3+a2s2+a1s+a0U(s)则：Y(s)=b3U(s)+Y1(s)[(b2−a2b3)s2+(b1−a1b3)s+(b0−a0b3)]对上式求拉式反变换，可得：y=b3u+(b2−a2b3)y1(2)+(b1−a1b3)y1ˊ+(b0−a0b3)y1W(s)=b_3+\frac{(b_2-a_2b_3)s^2+(b_1-a_1b_3)s+(b_0-a_0b_3)}{s^3+a_{2}s^{2} +a_1s+a_0}，m=n=3\\[3ex] 令：Y_1(s)=\frac{1}{s^3+a_{2}s^{2} +a_1s+a_0}U(s)\\[2ex] 则：Y(s)=b_3U(s)+Y_1(s)[(b_2-a_2b_3)s^2+(b_1-a_1b_3)s+(b_0-a_0b_3)]\\[2ex] 对上式求拉式反变换，可得：\\[2ex] y=b_3u+(b_2-a_2b_3)y^{(2)}_1+(b_1-a_1b_3)\acute{y_1}+(b_0-a_0b_3)y_1 W(s)=b3​+s3+a2​s2+a1​s+a0​(b2​−a2​b3​)s2+(b1​−a1​b3​)s+(b0​−a0​b3​)​，m=n=3令：Y1​(s)=s3+a2​s2+a1​s+a0​1​U(s)则：Y(s)=b3​U(s)+Y1​(s)[(b2​−a2​b3​)s2+(b1​−a1​b3​)s+(b0​−a0​b3​)]对上式求拉式反变换，可得：y=b3​u+(b2​−a2​b3​)y1(2)​+(b1​−a1​b3​)y1​ˊ​+(b0​−a0​b3​)y1​

可得系统模拟结构图：

▲ 系统模拟结构图

选取状态变量：

x1ˊ=x2x2ˊ=x3x3ˊ=−a0x1−a1x2−a2x3+uy=b3u+(b2−a2b3)x3+(b1−a1b3)x2+(b0−a0b3)x1\acute{x_1}=x_2\\[2ex] \acute{x_2}=x_3\\[2ex] \acute{x_3}=-a_0x_1-a_1x_2-a_{2}x_{3}+u\\[2ex] y=b_3u+(b_2-a_2b_3)x_3+(b_1-a_1b_3)x_2+(b_0-a_0b_3)x_1 x1​ˊ​=x2​x2​ˊ​=x3​x3​ˊ​=−a0​x1​−a1​x2​−a2​x3​+uy=b3​u+(b2​−a2​b3​)x3​+(b1​−a1​b3​)x2​+(b0​−a0​b3​)x1​

表示成矩阵形式：

(x1ˊx2ˊx3ˊ)=(010001−a0−a1−a2)(x1x2x3)+(001)u(11)\begin{pmatrix} \acute{x_1} \\[2ex] \acute{x_2}\\[2ex] \acute{x_3} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 \\[2ex] -a_{0} & -a_{1} & -a_2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\[2ex] x_2\\[2ex] x_3 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\[2ex] 0\\[2ex] 1 \\ \end{pmatrix}u\tag{11} ⎝⎜⎜⎜⎛​x1​ˊ​x2​ˊ​x3​ˊ​​⎠⎟⎟⎟⎞​=⎝⎜⎜⎜⎛​00−a0​​10−a1​​01−a2​​⎠⎟⎟⎟⎞​⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​x3​​⎠⎟⎟⎟⎞​+⎝⎜⎜⎜⎛​001​⎠⎟⎟⎟⎞​u(11)

y=((b0−a0b3)，(b1−a1b3)，(b2−a2b3))(x1x2x3)+b3uy=\begin{pmatrix} (b_0-a_0b_3)，(b_1-a_1b_3)，(b_2-a_2b_3) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\[2ex] x_2\\[2ex] x_3 \\ \end{pmatrix}+b_3u \\[2ex] y=((b0​−a0​b3​)，(b1​−a1​b3​)，(b2​−a2​b3​)​)⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​x3​​⎠⎟⎟⎟⎞​+b3​u

推广到 n 阶系统

(x1ˊx2ˊ⋮xn−1ˊxnˊ)=(010⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1−a0−a1−a2⋯−an−1)(x1x2⋮xn−1xn)+(00⋮01)uy=((b0−a0bn)，(b1−a1bn)，...，(bn−1−an−1bn))(x1x2⋮xn−1xn)+bnu\begin{pmatrix} \acute{x_1} \\[2ex] \acute{x_2}\\[2ex] \vdots \\[2ex] \acute{x_{n-1}} \\[2ex] \acute{x_n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 &\cdots & 0 \\[2ex] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2ex] 0 & 0 & 0 &\cdots & 1 \\[2ex] -a_{0} & -a_{1} & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\[2ex] x_2\\[2ex] \vdots \\[2ex] x_{n-1}\\[2ex] x_n \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\[2ex] 0\\[2ex] \vdots \\[2ex] 0\\[2ex] 1 \\ \end{pmatrix}u\\[3ex] y=\begin{pmatrix} (b_0-a_0b_n)，(b_1-a_1b_n)，...，(b_{n-1}-a_{n-1}b_n) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_{n-1}\\ x_n \\ \end{pmatrix}+b_nu \\[2ex] ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​x1​ˊ​x2​ˊ​⋮xn−1​ˊ​xn​ˊ​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​00⋮0−a0​​10⋮0−a1​​01⋮0−a2​​⋯⋯⋱⋯⋯​00⋮1−an−1​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn−1​xn​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​+⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​00⋮01​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​uy=((b0​−a0​bn​)，(b1​−a1​bn​)，...，(bn−1​−an−1​bn​)​)⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn−1​xn​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​+bn​u

1.5 由状态空间表达式求传递函数阵

状态空间描述：{xˊ=Ax+Buy=Cx+Du状态空间描述： \begin{cases} \acute{x}=Ax+Bu\\[2ex] y=Cx+Du \end{cases} 状态空间描述：⎩⎨⎧​xˊ=Ax+Buy=Cx+Du​

根据传递函数定义，对上式进行拉氏变换，并令 x(0)=x0=0x(0)=x_0=0x(0)=x0​=0 ，得：

{sX(s)=AX(s)+BU(s)Y(s)=CX(s)+DU(s)\begin{cases} sX(s)=AX(s)+BU(s)\\[2ex] Y(s)=CX(s)+DU(s) \end{cases} ⎩⎨⎧​sX(s)=AX(s)+BU(s)Y(s)=CX(s)+DU(s)​

整理上式得：

Y(s)=[C(sI−A)−1B+D]U(s)Y(s)=[C(sI-A)^{-1}B+D]U(s)Y(s)=[C(sI−A)−1B+D]U(s)

定义传递函数矩阵：

W(s)=Y(s)U(s)=C(sI−A)−1B+D=(W11W12⋯W1rW21W22⋯W2r⋮⋮⋱⋮Wm1Wm2⋯Wmr)W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B+D =\begin{pmatrix} W_{11} & W_{12} & \cdots & W_{1r} \\ W_{21} & W_{22} & \cdots & W_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ W_{m1} & W_{m2} & \cdots & W_{mr} \\ \end{pmatrix} W(s)=U(s)Y(s)​=C(sI−A)−1B+D=⎝⎜⎜⎜⎛​W11​W21​⋮Wm1​​W12​W22​⋮Wm2​​⋯⋯⋱⋯​W1r​W2r​⋮Wmr​​⎠⎟⎟⎟⎞​

说明：

dim(W(s))=m×r，其中dim(⋅)表示的⋅维数dim(W(s))=m\times r，其中 dim(\cdot) 表示的 \cdot 维数\\[2ex]dim(W(s))=m×r，其中dim(⋅)表示的⋅维数Wij=Yi(s)Uj(s)，它表征第j个输入对第i个输出的传递关系。W_{ij}=\frac{Y_i(s)}{U_j(s)}，它表征第 j 个输入对第 i 个输出的传递关系。\\[2ex]Wij​=Uj​(s)Yi​(s)​，它表征第j个输入对第i个输出的传递关系。同一系统，不同的状态空间表达式对应的W(s)是相同的。同一系统，不同的状态空间表达式对应的W(s)是相同的。同一系统，不同的状态空间表达式对应的W(s)是相同的。

1.6 状态矢量的线性变换

1.6.1 系统状态空间表达式的非唯一性

对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢量之间，实际上是一种矢量的线性变换（或称坐标变换)。

设给定系统为：{xˊ=Ax+Bu，x(0)=x0y=Cx+Du(12)设给定系统为： \begin{cases} \acute{x}=Ax+Bu，x(0)=x_0\\[2ex] y=Cx+Du \end{cases}\tag{12} 设给定系统为：⎩⎨⎧​xˊ=Ax+Bu，x(0)=x0​y=Cx+Du​(12)

可以找到任意一个非奇异矩阵 TTT ，将原状态矢量 xxx，作线性变换，得到另一状态矢量 zzz，设变换关系为：

x=Tz，即：z=T−1xx=Tz，即：z=T^{-1}x x=Tz，即：z=T−1x

代入式（12），得到新的状态空间表达式：

{zˊ=T−1ATz+T−1Bu，z(0)=T−1x(0)=T−1x0y=CTz+Du\begin{cases} \acute{z}=T^{-1}ATz+T^{-1}Bu，z(0)=T^{-1}x(0)=T^{-1}x_0\\[2ex] y=CTz+Du \end{cases} ⎩⎨⎧​zˊ=T−1ATz+T−1Bu，z(0)=T−1x(0)=T−1x0​y=CTz+Du​

由于 TTT 为非奇异矩阵，故状态空间表达式为非唯一的。通常称 TTT 为变换矩阵。

1.6.2 系统特征值的不变性及系统的不变量

系统特征值

{xˊ=Ax+Buy=Cx+Du\begin{cases} \acute{x}=Ax+Bu\\[2ex] y=Cx+Du \end{cases} ⎩⎨⎧​xˊ=Ax+Buy=Cx+Du​

系统特征值就是系统矩阵 AAA 的特征值，也即特征方程：

∣λI−A∣=0(13)|\lambda I-A|=0 \tag{13} ∣λI−A∣=0(13)

的根。系统的不变量与特征值的不变性

同一系统，经非奇异变换后，得：

{zˊ=T−1ATz+T−1Bu，y=CTz+Du\begin{cases} \acute{z}=T^{-1}ATz+T^{-1}Bu，\\[2ex] y=CTz+Du \end{cases} ⎩⎨⎧​zˊ=T−1ATz+T−1Bu，y=CTz+Du​

其特征方程为：

∣λI−T−1AT∣=0(14)|\lambda I-T^{-1}AT|=0\tag{14} ∣λI−T−1AT∣=0(14)

式（13）与式（14）形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。特征矢量

对于系统矩阵 AAA ，若存在一非零向量 ppp ，使得 Ap=λpAp=\lambda pAp=λp，则称 ppp 为系统矩阵 AAA 对应于特征值 λ\lambdaλ 的特征矢量。

1.6.3 状态空间表达式变换为约旦标准型

xˊ=Ax+Bu，y=Cx变换为：zˊ=Jz+T−1Bu，y=CTx\acute{x}=Ax+Bu，y=Cx\\[2ex] 变换为：\acute{z}=Jz+T^{-1}Bu，y=CTx xˊ=Ax+Bu，y=Cx变换为：zˊ=Jz+T−1Bu，y=CTx

根据系统矩阵 AAA ，求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准型矩阵 JJJ ：

无重根时

有重根时（q个重根λ1q个重根\lambda_1q个重根λ1​）

参考文献

[1]：刘豹，唐万生. 现代控制理论[M]. 北京：机械工业出版社，.7

[2]：王孝武. 现代控制理论基础[M]. 3版 北京：机械工业出版社，.7

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