Author：AXYZdong

自动化专业 工科男

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前言一、系统的微分方程及其响应1.1 LTI系统的微分方程1.2 系统的响应1.2.1 零输入响应（储能响应）1.2.2 零状态响应（受激响应）1.2.3 完全响应1.2.4 例一(y′′(t)+6y′(t)+8y(t)=f(t),t>0y ''(t) + 6y '(t) + 8y(t) =f(t),t>0y′′(t)+6y′(t)+8y(t)=f(t),t>0)1.2.5 例二(y′′(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t),t>0y ''(t) + 3y'(t) + 2y(t) =2f'(t)+6f(t),t>0y′′(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t),t>0)1.2.6 响应的分类二、阶跃响应2.1 定义2.2 一阶系统方程的阶跃响应2.3 阶跃响应的测量三、冲激响应3.1 定义3.2 一阶系统的冲激响应3.3 例一（y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=f(t)y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=f(t)）3.4 例二（y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=f′′(t)+2f′(t)+3f(t)y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f''(t)+2f'(t)+3f(t)y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=f′′(t)+2f′(t)+3f(t)）3.5 阶跃响应与冲激响应的关系四、卷积及其应用4.1 信号的时域分解与卷积积分4.1.1 任意信号的分解4.1.2 任意信号作用下的零状态响应4.1.3 卷积积分的定义4.2 卷积的图解法五、卷积积分的性质5.1 奇异（冲激）函数的卷积特性5.2 卷积的微积分性质5.3 卷积的时移特性总结

前言

以下内容是关于连续系统的时域分析，重点难点，考试常考，考前复习。

一、系统的微分方程及其响应

1.1 LTI系统的微分方程

描述线性时不变（LTI）系统的输入–输出特性的是常系数线性微分方程

时域分析方法：从系统的模型（微分方程）出发，在时域研究输入信号通过系统响应后的变化规律，是研究系统时域特性的重要方法。

对于电系统，建立其微分方程的依据：

KCL:∑i(t)=0KVL:∑u(t)=0VCR:UR(t)=R⋅i(t),uL(t)=L⋅di(t)dt,iC(t)=C⋅du(t)dtKCL:\sum i(t)=0\\ KVL: \sum u(t)=0\\ VCR:U_R(t)=R \cdot i(t),u_L(t)=L\cdot \frac{di(t)}{dt},i_C(t)=C \cdot \frac{du(t)}{dt} KCL:∑i(t)=0KVL:∑u(t)=0VCR:UR​(t)=R⋅i(t),uL​(t)=L⋅dtdi(t)​,iC​(t)=C⋅dtdu(t)​

对于图（a）中RC电路

RC⋅duC(t)dt+uC(t)=uS(t)即:uC′(t)+1RC⋅uC(t)=1RC⋅uS(t)RC \cdot \frac{du_C(t)}{dt} +u_C(t)=u_S(t)\\ 即:u ' _C(t) + \frac{1}{RC} \cdot u_C(t) = \frac{1}{RC} \cdot u_S(t) RC⋅dtduC​(t)​+uC​(t)=uS​(t)即:uC′​(t)+RC1​⋅uC​(t)=RC1​⋅uS​(t)

对于图（b）中RL电路

L⋅diL(t)R⋅dt+iL(t)=iS(t)即:iL′(t)+RL⋅iL(t)=RL⋅iS(t)\frac{L \cdot di_L(t)}{R \cdot dt} +i_L(t)=i_S(t)\\ 即:i ' _L(t) + \frac{R}{L} \cdot i_L(t) = \frac{R}{L} \cdot i_S(t) R⋅dtL⋅diL​(t)​+iL​(t)=iS​(t)即:iL′​(t)+LR​⋅iL​(t)=LR​⋅iS​(t)

以上可以总结出一般形式：y′(t)+ay(t)=χ(t)y '(t)+ay(t)=\chi(t)y′(t)+ay(t)=χ(t)

1.2 系统的响应

1.2.1 零输入响应（储能响应）

从观察的初始时刻起不再施加输入信号，仅由该时刻系统本身的起始储能状态引起的响应称为零输入响应（ZIR）

1.2.2 零状态响应（受激响应）

当系统的储能状态为零时，由外加激励信号（输入）产生的响应称为零状态响应（ZSR）

对于一阶系统方程

y′(t)+ay(t)=χ(t)y '(t)+ay(t)=\chi(t) y′(t)+ay(t)=χ(t)

零状态响应：

yZS(t)=e−at∫0−tχ(t)eaτdτ,(t≥0)y_{ZS}(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t \chi(t) e^{a \tau} d \tau,(t \geq0) yZS​(t)=e−at∫0−t​χ(t)eaτdτ,(t≥0)

1.2.3 完全响应

y(t)=yZI(t)+yZS(t),[全响应=零输入+零状态]y(t)=y_{ZI}(t)+y_{ZS}(t),[全响应=零输入+零状态] y(t)=yZI​(t)+yZS​(t),[全响应=零输入+零状态]

1.2.4 例一(y′′(t)+6y′(t)+8y(t)=f(t),t>0y ''(t) + 6y '(t) + 8y(t) =f(t),t>0y′′(t)+6y′(t)+8y(t)=f(t),t>0)

已知某二阶线性连续时间系统的动态方程：

y′′(t)+6y′(t)+8y(t)=f(t),t>0初始条件：y(0−)=1,y′(0−)=2,求系统的零输入响应y''(t) + 6y'(t) + 8y(t) =f(t),t>0\\ 初始条件：y({0_-})=1,y' ({0_-})=2,求系统的零输入响应 y′′(t)+6y′(t)+8y(t)=f(t),t>0初始条件：y(0−​)=1,y′(0−​)=2,求系统的零输入响应

解：

系统的特征方程：s2+6s+8=0,特征根：s1=−2，s2=−4故系统的零输入响应：yX(t)=k1e−2t+k2e−4t,t>0yX(0+)=yX(0−)=yX(0)=k1+k2=1y′(0)=yX′(0−)=−2k1−4k2=2yX(0)和y′(0)代入可解出：k1=3，k2=−2系统的特征方程：s^2+6s+8=0,特征根：s_1=-2，s_2=-4 \\ 故系统的零输入响应：y_X(t)=k_1e^{-2t} + k_2e^{-4t},t>0 \\ y_X({0_+})=y_X({0_-}) = y_X({0}) = k_1+k_2=1\\ y'(0)=y_X'({0_-}) = -2k_1-4k_2=2\\ y_X({0})和y'(0)代入 可解出：k_1=3，k_2=-2系统的特征方程：s2+6s+8=0,特征根：s1​=−2，s2​=−4故系统的零输入响应：yX​(t)=k1​e−2t+k2​e−4t,t>0yX​(0+​)=yX​(0−​)=yX​(0)=k1​+k2​=1y′(0)=yX′​(0−​)=−2k1​−4k2​=2yX​(0)和y′(0)代入可解出：k1​=3，k2​=−2

可得零输入响应：yX(t)=3e−2t−2e−4t,t≥0y_X(t)=3e^{-2t}-2e^{-4t},t \ge0yX​(t)=3e−2t−2e−4t,t≥0

1.2.5 例二(y′′(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t),t>0y ''(t) + 3y'(t) + 2y(t) =2f'(t)+6f(t),t>0y′′(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t),t>0)

y′′(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t),t>0初始条件：y(0−)=2,y′(0−)=0,f(t)=ϵ(t),求系统的零输入响应和零状态响应y ''(t) + 3y'(t) + 2y(t) =2f'(t)+6f(t),t>0\\ 初始条件：y({0_-})=2,y \prime ({0_-})=0,f(t)= \epsilon(t), \\ 求系统的零输入响应和零状态响应\\ y′′(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t),t>0初始条件：y(0−​)=2,y′(0−​)=0,f(t)=ϵ(t),求系统的零输入响应和零状态响应

解：

(1)零输入响应yX(t)激励为0，故yX(t)满足(1)零输入响应y_X(t)激励为0，故y_X(t)满足(1)零输入响应yX​(t)激励为0，故yX​(t)满足

yX′′(t)+3yX′(t)+2yX(t)=0系统的特征方程：s2+3s+2=0,特征根：s1=−2，s2=−1故系统的零输入响应：yX(t)=k1e−2t+k2e−t,t>0yX(0+)=yX(0−)=yX(0)=2y′(0)=yX′(0−)=0yX(0)和y′(0)代入可解出：k1=4，k2=−2y _X''(t) + 3y_X'(t) + 2y_X(t) =0\\ 系统的特征方程：s^2+3s+2=0,特征根：s_1=-2，s_2=-1 \\ 故系统的零输入响应：y_X(t)=k_1e^{-2t} + k_2e^{-t},t>0 \\ y_X({0_+})=y_X({0_-}) = y_X({0}) =2\\ y'(0)=y_X'({0_-}) = 0\\ y_X({0})和y'(0)代入 可解出：k_1=4，k_2=-2yX′′​(t)+3yX′​(t)+2yX​(t)=0系统的特征方程：s2+3s+2=0,特征根：s1​=−2，s2​=−1故系统的零输入响应：yX​(t)=k1​e−2t+k2​e−t,t>0yX​(0+​)=yX​(0−​)=yX​(0)=2y′(0)=yX′​(0−​)=0yX​(0)和y′(0)代入可解出：k1​=4，k2​=−2

可得零输入响应：yX(t)=4e−t−2e−2t,t>0y_X(t)=4e^{-t}-2e^{-2t},t >0yX​(t)=4e−t−2e−2t,t>0

(2)零状态响应yf(t)满足(2)零状态响应y_f(t)满足(2)零状态响应yf​(t)满足

yf′′(t)+3yf′(t)+2yf(t)=2δ(t)+6ϵ(t),并有yf(0−)=yf(0+)=0y _f''(t) + 3y_f'(t) + 2y_f(t) =2 \delta (t)+6 \epsilon(t),并有y_f({0_-}) = y_f({0_+}) = 0\\ yf′′​(t)+3yf′​(t)+2yf​(t)=2δ(t)+6ϵ(t),并有yf​(0−​)=yf​(0+​)=0

由于上式等号右端含有δ(t),故yf′′(t)含有δ(t)，从而yf′(t)跃变,即yf′(0+)≠yf′(0−)而yf(t)在t=0处连续，即yf(0−)=yf(0+)=0，上式两边积分有：[yf′(0+)−yf′(0−)]+3[yf(0−)−yf(0+)]+2∫0−0+yf(t)dt=2+6∫0−0+ϵ(t)dt由于上式等号右端含有 \delta(t) , 故y _f''(t)含有 \delta(t)，从而y_f'(t)跃变 ,即y'_f({0_+}) \neq y'_f({0_-})\\ 而y_f(t) 在t=0处连续，即y_f({0_-}) = y_f({0_+})=0，上式两边积分有：\\ [y'_f({0_+}) - y'_f({0_-})]+3[y_f({0_-}) -y_f({0_+})]+2\int_{0-}^{0+}y_f(t) dt=2+6\int_{0-}^{0+} \epsilon(t)dt由于上式等号右端含有δ(t),故yf′′​(t)含有δ(t)，从而yf′​(t)跃变,即yf′​(0+​)​=yf′​(0−​)而yf​(t)在t=0处连续，即yf​(0−​)=yf​(0+​)=0，上式两边积分有：[yf′​(0+​)−yf′​(0−​)]+3[yf​(0−​)−yf​(0+​)]+2∫0−0+​yf​(t)dt=2+6∫0−0+​ϵ(t)dt

整理得：yf′(0+)=2+yf′(0−)=2y'_f({0_+}) =2+ y'_f({0_-})=2yf′​(0+​)=2+yf′​(0−​)=2

对t>0t>0t>0时，有yf′′(t)+3yf′(t)+2yf(t)=6y _f''(t) + 3y_f'(t) + 2y_f(t) =6yf′′​(t)+3yf′​(t)+2yf​(t)=6

不难求出其齐次解为：Cf1e−t+Cf2e−2t,C_{f1}e^{-t}+C_{f2}e^{-2t},Cf1​e−t+Cf2​e−2t,其特解为常数333

∴yf(t)=Cf1e−t+Cf2e−2t+3\therefore y_f(t)=C_{f1}e^{-t}+C_{f2}e^{-2t}+3∴yf​(t)=Cf1​e−t+Cf2​e−2t+3

代入初值求得：yf(t)=−4e−t+e−2t+3,t≥0y_f(t)=-4e^{-t}+e^{-2t}+3,t \geq0yf​(t)=−4e−t+e−2t+3,t≥0

1.2.6 响应的分类

二、阶跃响应

2.1 定义

LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为s(t)s(t)s(t)

2.2 一阶系统方程的阶跃响应

对于一阶系统方程

y′(t)+ay(t)=bϵ(t)y '(t)+ay(t)=b\epsilon(t) y′(t)+ay(t)=bϵ(t)

则零状态响应：

yZS(t)=e−at∫0−tχ(t)eaτdτ,(t≥0)y_{ZS}(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t \chi(t) e^{a \tau} d \tau,(t \geq0) yZS​(t)=e−at∫0−t​χ(t)eaτdτ,(t≥0)

则阶跃响应：

y(t)=s(t)=e−at∫0−tbϵ(t)eaτdτ=ba⋅(1−e−at),(t≥0)y (t)=s(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t b\epsilon(t) e^{a \tau} d \tau = \frac {b}{a} \cdot(1-e^{-at}),(t \geq0) y(t)=s(t)=e−at∫0−t​bϵ(t)eaτdτ=ab​⋅(1−e−at),(t≥0)

2.3 阶跃响应的测量

三、冲激响应

3.1 定义

储能状态为零的系统，在单位冲激信号作用下产生的零状态响应称为冲激响应，记为h(t)h(t)h(t)

3.2 一阶系统的冲激响应

对于一阶系统方程

y′(t)+ay(t)=bδ(t)y '(t)+ay(t)=b\delta(t) y′(t)+ay(t)=bδ(t)

则冲激响应：

y(t)=h(t)=e−at∫0−tbδ(t)eaτdτ=b⋅e−at⋅ϵ(t)y (t)=h(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t b\delta(t) e^{a \tau} d \tau = b \cdot e^{-at} \cdot \epsilon(t) y(t)=h(t)=e−at∫0−t​bδ(t)eaτdτ=b⋅e−at⋅ϵ(t)

3.3 例一（y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=f(t)y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=f(t)）

描述某系统的微分方程为y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=f(t)y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=f(t)，求其冲激响应h(t)h(t)h(t)

解：根据h(t)h(t)h(t)定义有h′′(t)+5h′(t)+6h(t)=δ(t),并且有h′(0−)=h(0−)=0，先求h′(0+)和h(0+)h''(t)+5h'(t)+6h(t)= \delta(t),\\ 并且有 h'({0_-}) = h({0_-}) = 0，先求h'({0_+}) 和 h({0_+})h′′(t)+5h′(t)+6h(t)=δ(t),并且有h′(0−​)=h(0−​)=0，先求h′(0+​)和h(0+​)

由于上式等号右端含有δ(t),故h′′(t)含有δ(t)，从而h′(t)跃变,即h′(0+)≠h′(0−)而h(t)在t=0处连续，即h(0−)=h(0+)=0，上式两边积分有：[h′(0+)−h′(0−)]+5[h(0−)−h(0+)]+6∫0−0+h(t)dt=1由于上式等号右端含有 \delta(t) , 故h''(t)含有 \delta(t)，从而h'(t)跃变 ,即h' ({0_+}) \neq h'({0_-})\\ 而h(t) 在t=0处连续，即h({0_-}) = h({0_+})=0，上式两边积分有：\\ [h'({0_+}) - h'({0_-})]+5[h({0_-}) -h({0_+})]+6\int_{0-}^{0+}h(t) dt=1由于上式等号右端含有δ(t),故h′′(t)含有δ(t)，从而h′(t)跃变,即h′(0+​)​=h′(0−​)而h(t)在t=0处连续，即h(0−​)=h(0+​)=0，上式两边积分有：[h′(0+​)−h′(0−​)]+5[h(0−​)−h(0+​)]+6∫0−0+​h(t)dt=1

整理得：h′(0+)=1+h′(0−)=1h'({0_+}) =1+ h'({0_-})=1h′(0+​)=1+h′(0−​)=1

对t>0t>0t>0时，有h′′(t)+5h′(t)+6h(t)=0h''(t)+5h'(t)+6h(t)=0h′′(t)+5h′(t)+6h(t)=0

不难求出其齐次解为：C1e−2t+C2e−3t,C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t},C1​e−2t+C2​e−3t,

∴h(t)=(C1e−2t+C2e−3t)⋅ϵ(t)\therefore h(t)=(C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)∴h(t)=(C1​e−2t+C2​e−3t)⋅ϵ(t)

代入初值求得：h(t)=(e−2t−e−3t)⋅ϵ(t)h(t)=(e^{-2t}-e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)h(t)=(e−2t−e−3t)⋅ϵ(t)

3.4 例二（y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=f′′(t)+2f′(t)+3f(t)y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f''(t)+2f'(t)+3f(t)y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=f′′(t)+2f′(t)+3f(t)）

描述某系统的微分方程为y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=f′′(t)+2f′(t)+3f(t)y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f''(t)+2f'(t)+3f(t)y′′(t)+5y′(t)+6y(t)=f′′(t)+2f′(t)+3f(t)，求其冲激响应h(t)h(t)h(t)

解：根据h(t)h(t)h(t)定义有

h′′(t)+5h′(t)+6h(t)=δ′′(t)+2δ′(t)+3δ(t)(1)h''(t)+5h'(t)+6h(t)=\delta''(t) + 2\delta'(t) +3\delta(t) \\ \tag{1} h′′(t)+5h′(t)+6h(t)=δ′′(t)+2δ′(t)+3δ(t)(1)

并且有h′(0−)=h(0−)=0，先求h′(0+)和h(0+)并且有 h'({0_-}) = h({0_-}) = 0，先求h'({0_+}) 和 h({0_+})并且有h′(0−​)=h(0−​)=0，先求h′(0+​)和h(0+​)

由方程可知：h(t)h(t)h(t)中含有δ(t)\delta(t)δ(t)

故令：

{h(t)=aδ(t)+P1(t),[Pi(t)中为不含有δ(t的函数)]h′(t)=aδ′(t)+bδ(t)+P2(t)h′′(t)=aδ′′(t)+bδ′(t)+cδ(t)+P3(t)\begin{cases} h(t)=a \delta(t) +P_1(t) , [P_i(t)中为不含有\delta(t的函数) ]\\ h'(t)=a \delta'(t) + b \delta(t) + P_2(t)\\ h''(t)=a \delta''(t) + b \delta'(t) + c \delta(t) + P_3(t)\\ \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​h(t)=aδ(t)+P1​(t),[Pi​(t)中为不含有δ(t的函数)]h′(t)=aδ′(t)+bδ(t)+P2​(t)h′′(t)=aδ′′(t)+bδ′(t)+cδ(t)+P3​(t)​

代入式（1）整理得：

aδ′′(t)+(b+5a)δ′(t)+(6a+5b+c)δ(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)=δ′′(t)+2δ′(t)+3δ(t)a \delta''(t) + (b+5a) \delta'(t) + (6a+5b+c) \delta(t) + P_1(t)+P_2(t)+ P_3(t)=\delta''(t) + 2\delta'(t) +3\delta(t) aδ′′(t)+(b+5a)δ′(t)+(6a+5b+c)δ(t)+P1​(t)+P2​(t)+P3​(t)=δ′′(t)+2δ′(t)+3δ(t)

利用δ(t)\delta(t)δ(t)系数匹配，得a=1,b=−3,c=12a=1,b=-3,c=12a=1,b=−3,c=12

h(t)=δ(t)+P1(t)(2)h(t)= \delta(t) +P_1(t) \tag{2}h(t)=δ(t)+P1​(t)(2)

h′(t)=δ′(t)−3δ(t)+P2(t)(3)h'(t)= \delta'(t) -3 \delta(t) + P_2(t) \tag{3} h′(t)=δ′(t)−3δ(t)+P2​(t)(3)

h′′(t)=δ′′(t)−3δ′(t)+12δ(t)+P3(t)(4)h''(t)= \delta''(t) -3 \delta'(t) + 12 \delta(t) + P_3(t) \tag{4}h′′(t)=δ′′(t)−3δ′(t)+12δ(t)+P3​(t)(4)

对式（3）从0−到0+积分h(0+)−h(0−)=−3对式（4）从0−到0+积分h′(0+)−h′(0−)=12对式（3）从0_{-}到0_{+}积分h(0_{+})-h(0_{-})=-3 \\ 对式（4）从0_{-}到0_{+}积分h'(0_{+})-h'(0_{-})=12对式（3）从0−​到0+​积分h(0+​)−h(0−​)=−3对式（4）从0−​到0+​积分h′(0+​)−h′(0−​)=12

对t>0t>0t>0时,有h′′(t)+5h′(t)+6h(t)=0,特征根−2，−3h''(t)+5h'(t)+6h(t)=0,特征根-2，-3h′′(t)+5h′(t)+6h(t)=0,特征根−2，−3

不难求出其齐次解为：C1e−2t+C2e−3t,C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t},C1​e−2t+C2​e−3t,

∴h(t)=(C1e−2t+C2e−3t)⋅ϵ(t)\therefore h(t)=(C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)∴h(t)=(C1​e−2t+C2​e−3t)⋅ϵ(t)

代入初始条件h(0+)=−3,h′(0+)=12h(0_{+})=-3,h'(0_{+}) =12h(0+​)=−3,h′(0+​)=12求得：h(t)=(3e−2t−6e−3t)⋅ϵ(t)h(t)=(3e^{-2t}-6e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)h(t)=(3e−2t−6e−3t)⋅ϵ(t)

结合式（2），h(t)=δ(t)+(3e−2t−6e−3t)⋅ϵ(t)结合式（2），h(t)= \delta(t)+(3e^{-2t}-6e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)结合式（2），h(t)=δ(t)+(3e−2t−6e−3t)⋅ϵ(t)

3.5 阶跃响应与冲激响应的关系

{h(t)=ds(t)dts(t)=∫−∞th(τ)dτ\begin{cases} h(t)= \frac{ds(t)}{dt}\\ \\ s(t)= \int _{-\infty}^{t}h( \tau ) d \tau \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​h(t)=dtds(t)​s(t)=∫−∞t​h(τ)dτ​

四、卷积及其应用

4.1 信号的时域分解与卷积积分

4.1.1 任意信号的分解

“0"“0"“0"号脉冲高度f(0)f(0)f(0)，宽度Δ\DeltaΔ，用p(t)p(t)p(t)表示为 f(0)Δp(t)f(0) \Delta p(t)f(0)Δp(t)

“1"“1"“1"号脉冲高度f(Δ)f(\Delta)f(Δ)，宽度Δ\DeltaΔ，用p(t−Δ)p(t-\Delta)p(t−Δ)表示为 f(Δ)Δp(t−Δ)f(\Delta) \Delta p(t-\Delta)f(Δ)Δp(t−Δ)

“−1"“-1"“−1"号脉冲高度f(−Δ)f(-\Delta)f(−Δ)，宽度Δ\DeltaΔ，用p(t+Δ)p(t+\Delta)p(t+Δ)表示为 f(−Δ)Δp(t+Δ)f(-\Delta) \Delta p(t+\Delta)f(−Δ)Δp(t+Δ)

f(t)^=∑n=−∞∞f(nΔ)Δp(t−nΔ)\hat {f(t)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n\Delta) \Delta p(t-n\Delta)f(t)^​=∑n=−∞∞​f(nΔ)Δp(t−nΔ)

lim⁡Δ→0f(t)^=f(t)=∫−∞∞f(τ)δ(t−τ)dτ\lim_{\Delta \to 0} \hat{f(t)} =f(t) = \int _{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t- \tau) d \tau Δ→0lim​f(t)^​=f(t)=∫−∞∞​f(τ)δ(t−τ)dτ

4.1.2 任意信号作用下的零状态响应

根据h(t)h(t)h(t)定义：

δ(t)⟹h(t)\delta(t) \implies h(t) δ(t)⟹h(t)

由时不变性：

δ(t−τ)⟹h(t−τ)\delta(t - \tau) \implies h(t - \tau) δ(t−τ)⟹h(t−τ)

由齐次性：

f(τ)δ(t−τ)⟹f(τ)h(t−τ)f(\tau) \delta(t - \tau) \implies f(\tau) h (t - \tau) f(τ)δ(t−τ)⟹f(τ)h(t−τ)

由叠加性：

∫−∞+∞f(τ)δ(t−τ)dτ⟹∫−∞+∞f(τ)h(t−τ)dτ\int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) \delta(t - \tau) d\tau \implies \int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) h (t - \tau) d\tau ∫−∞+∞​f(τ)δ(t−τ)dτ⟹∫−∞+∞​f(τ)h(t−τ)dτ

yf(t)=∫−∞+∞f(τ)h(t−τ)dτ,卷积积分y_f(t)=\int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) h(t - \tau) d\tau ,卷积积分 yf​(t)=∫−∞+∞​f(τ)h(t−τ)dτ,卷积积分

4.1.3 卷积积分的定义

已知定义在区间(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)上的两个函数f1(t)f_1(t)f1​(t)和f2(t)f_2(t)f2​(t)，则定义积分f(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτf(t)=\int_{- \infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t - \tau) d\tauf(t)=∫−∞+∞​f1​(τ)f2​(t−τ)dτ

为f1(t)f_1(t)f1​(t)和f2(t)f_2(t)f2​(t)的卷积积分，简称卷积；记为

f(t)=f1(t)∗f2(t)f(t)=f_1(t) *f_2(t) f(t)=f1​(t)∗f2​(t)

温馨提醒：τ\tauτ 为积分变量，积分后的结果为关于 ttt 的函数

yf(t)=∫−∞+∞f(τ)h(t−τ)dτ=f1(t)∗h(t)y_f(t)=\int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) h(t - \tau) d\tau =f_1(t) *h(t) yf​(t)=∫−∞+∞​f(τ)h(t−τ)dτ=f1​(t)∗h(t)

4.2 卷积的图解法

f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτf_1(t) *f_2(t) = \int_{- \infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t - \tau) d\tau f1​(t)∗f2​(t)=∫−∞+∞​f1​(τ)f2​(t−τ)dτ

四步图解法：

（1）换元：t换为τ→f1(τ),f2(τ)t 换为 \tau \to f_1(\tau), f_2(\tau)t换为τ→f1​(τ),f2​(τ)

（2）反转平移（折叠平移）：f2(τ)反转→f2(−τ),再右移t→f2(−(τ−t))=f2(t−τ)f_2(\tau)反转\to f_2(-\tau),再右移t\to f_2(-(\tau -t))=f_2(t- \tau)f2​(τ)反转→f2​(−τ),再右移t→f2​(−(τ−t))=f2​(t−τ)【左加右减在τ\tauτ的里面】

（3）乘积：f1(τ)f2(t−τ)f_1(\tau) f_2(t - \tau)f1​(τ)f2​(t−τ)

（4）积分：τ\tauτ从−∞-\infty−∞到+∞+\infty+∞对乘积项积分

总结：图解法步骤比较繁杂，但是按照四步法“战略”就可以一步步把题目搞定。不过，图解法对于求某一时刻的卷积值还是比较方便的，对于简单的信号，通过画图就可以直观的求出某一时刻的卷积值。

五、卷积积分的性质

5.1 奇异（冲激）函数的卷积特性

1、f(t)∗δ(t)=δ(t)∗f(t)=f(t)f(t)*\delta(t) = \delta(t)* f(t) = f(t)f(t)∗δ(t)=δ(t)∗f(t)=f(t)

2、f(t)∗δ′(t)=f′(t),f(t)∗δ(n)(t)=f(n)(t)f(t)* \delta'(t) = f'(t) , f(t)* \delta^{(n)}(t) = f^{(n)}(t)f(t)∗δ′(t)=f′(t),f(t)∗δ(n)(t)=f(n)(t)

3、f(t)∗ϵ(t)=∫−∞+∞f(τ)ϵ(t−τ)dτ=∫−∞tf(τ)dτf(t)*\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \epsilon(t- \tau)d\tau = \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tauf(t)∗ϵ(t)=∫−∞+∞​f(τ)ϵ(t−τ)dτ=∫−∞t​f(τ)dτ

ϵ(t)∗ϵ(t)=tϵ(t)\epsilon(t)*\epsilon(t) = t\epsilon(t)ϵ(t)∗ϵ(t)=tϵ(t)【重点关注】

5.2 卷积的微积分性质

5.3 卷积的时移特性

卷积的时移特性说白了就是：一个卷积积分，时间 ttt 无论左移还是右移，其积分值等于相应函数左移或右移后的函数值。下面通过一个公式来说明：

若：f(t)=f1(t)∗f2(t),f(t)=f_1(t)*f_2(t),f(t)=f1​(t)∗f2​(t),

则：f1(t−t1)∗f2(t−t2)=f1(t−t1−t2)∗f2(t)=f1(t)∗f2(t−t1−t2)=f(t−t1−t2)f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2) \\ = f_1(t-t_1-t_2)*f_2(t)\\ = f_1(t)*f_2(t-t_1-t_2)\\ =f (t-t_1-t_2)f1​(t−t1​)∗f2​(t−t2​)=f1​(t−t1​−t2​)∗f2​(t)=f1​(t)∗f2​(t−t1​−t2​)=f(t−t1​−t2​)

总结

连续系统的时域分析，重点难点内容，多看、多做、多动手。

零输入、零状态、阶跃、冲激

卷积积分【重点关注】

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