LTI系统：linear time-invariant systems 线性时不变系统。

LTI系统性质：线性（齐次性和可加性）、时不变性、微分性、积分性

【 1.微分方程的经典解】

1. 齐次解

原式→齐次微分方程→特征方程 → 特征根 λ → 齐次解形式。

2. 特解

激励→特定系数的特解形式→ 代入原式(f(t)代入) →特解。

3. 全解

待定系数的齐次解 + 特解→代入初始值→齐次解系数→全解＝齐次解+特解

4. 范例

【 2. 0+ 和 0- 】

在用经典法求解微分方程时，我们需要通过初始值来求齐次解的待定系数。一般情况下，我们所求的微分方程 t＞0，因此我们需要 0+ 时的初始值。

当所给的初始值为0-时，我们需要怎么求0+呢？



1. 方程右端无冲激函数δ(t)

从0-到0+，不发生跳变

y(0+)=y(0−)y(0 + )= y(0-)y(0+)=y(0−)

2. 方程右端有冲激函数δ(t)

【 3. 零输入响应、零状态响应 】

1. 零输入响应

f(t)及其各阶导均为0f(t)及其各阶导均为0f(t)及其各阶导均为0

yzi(0+)＝yzi(0−)＝y(0−)y_{zi}(0+)＝y_{zi}(0-)＝y(0-)yzi​(0+)＝yzi​(0−)＝y(0−)

yzi′(0+)＝yzi′(0−)＝y′(0−)y_{zi}'(0+)＝y_{zi}'(0-)＝y'(0-)yzi′​(0+)＝yzi′​(0−)＝y′(0−)

2. 零状态响应

yzs(0−)=yzs′(0−)=0y_{zs}(0~-~) = y'_{zs}(0-) = 0yzs​(0−)=yzs′​(0−)=0

0−时刻状态变量全为00-时刻状态变量全为00−时刻状态变量全为0

3. 全响应

【 4. 总结】

零输入响应，直接让f(t)，f’(t)为0，求出C1,C2。

y(0+)=y(0-)=y(0)，y’(0+)=y’(0-)=y’(0),再待入初值求解即可。零状态响应满足 yzs(0-) = y’zs(0-) = 0

方程右端含有冲激函数时，求t>0时方程的特征根。

求出特解

求解t>0时的初值并带入求C1,C2