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LTI连续系统的响应1 连续系统的描述-电路图建立微分方程2 微分方程的模拟框图3 微分方程的经典解法4 连续系统的初始值5 零输入响应6 零状态响应7 响应分类LTI连续系统的响应
1 连续系统的描述-电路图建立微分方程
数学模型
图示RLC电路，以uS(t)u_S(t)uS(t)作激励，以uC(t)u_C(t)uC(t)作为响应，由KVL和VAR列方程，并整理得
抽去具有的物理含义，微分方程写成
相似系统
相似系统：能用相同方程描述的系统。
上例的系统方程为：
也可描述如下的二阶机械减振系统：
其中，kkk为弹簧常数，MMM为物体质量，CCC为减振液体的阻尼系数，xxx为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)f(t)f(t)为初始外力。其运动方程为
2 微分方程的模拟框图
基本运算：数乘、微分、相加
基本部件：加法器、数乘器、积分器
积分器的抗干扰性比微分器好，故用积分器逆运算代替微分器。
模拟框图：将微分方程用基本部件的相互联接表征出来的图，简称框图。
LTI特性：
3 微分方程的经典解法
经典解
齐次解是对应齐次微分方程的解：
特解的函数形式与激励的函数形式有关。
齐次解的常用函数形式
特解的常用函数形式
4 连续系统的初始值
初始值是n阶系统在t=0t=0t=0时接入激励，其响应在t=0+t=0_+t=0+时刻的值，即y(j)(0+)(j=0,1,2…，n−1)y^{(j)}(0_+) (j=0,1,2…，n-1)y(j)(0+)(j=0,1,2…，n−1)。
初始状态是指系统在激励尚未接入的t=0−t=0_-t=0−时刻的响应值y(j)(0−)y^{(j)}(0_-)y(j)(0−)，该值反映了系统的历史情况，而与激励无关。
为求解微分方程，需要从已知的初始状态y(j)(0−)y^{(j)}(0_-)y(j)(0−)求得y(j)(0+)y^{(j)}(0_+)y(j)(0+)。
y′′(t)包含δ(t)，则y′(t)y''(t)包含\delta(t)，则y'(t)y′′(t)包含δ(t)，则y′(t)必须要有跃变才能产生δ(t)\delta(t)δ(t)，(因为ε′(t)=δ(t))(因为\varepsilon'(t)=\delta(t))(因为ε′(t)=δ(t))，则y′(0+)≠y′(0−)y'(0_+)\not =y'(0_-)y′(0+)=y′(0−)，因为y′(t)y'(t)y′(t)不含有δ(t)\delta(t)δ(t)，因此y(t)y(t)y(t)应不含有阶跃，即应为连续的。
结论：微分方程等号右端含有δ(t)δ(t)δ(t)时，仅在等号左端y(t)y(t)y(t)的最高阶导数中含有δ(t)δ(t)δ(t)，则y(t)y(t)y(t)的次高阶跃变，其余连续；若右端不含冲激函数，则不会跃变。
5 零输入响应
y(t)=yzi(t)+yzs(t)y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t)y(t)=yzi(t)+yzs(t) 分别采用经典法进行求解。
初始值的确定
零状态响应：状态为零时输入产生的响应，加上−l<0-l<0−l<0还没有输入，故yzs(j)(0−)=0y^{(j)}_{zs}(0_-)=0yzs(j)(0−)=0
yzi(t)y_{zi}(t)yzi(t)对应齐次微分方程，故不存在跃变，即：
求解步骤
(1)设定齐次解；
(2)代入初始值，求待定系数。
注意：t>0t>0t>0时才成立
6 零状态响应
初始值的确定
求解步骤
(1)设定齐次解；
(2)设定特解，代入方程求解；
(3)代入初始值，求待定系数。
因为零状态，所以yzs(0−)=yzs′(0−)y_{zs}(0_-)=y'_{zs}(0_-)yzs(0−)=yzs′(0−)
t>0t>0t>0：因为yzs(0+)y_{zs}(0_+)yzs(0+)已经把t=0t=0t=0的值表示出来了
t>0t>0t>0时ε(t)=1\varepsilon(t)=1ε(t)=1，激励可以看作e0te^{0t}e0t，查表得特解为一个常数PPP
（3）代入初始值：yzs(0+)，yzs′(0+)y_{zs}(0_+)，y_{zs}'(0_+)yzs(0+)，yzs′(0+)。−4e0+e0+3=0=yzs(0+)-4e^{0}+e^{0}+3=0=y_{zs}(0_+)−4e0+e0+3=0=yzs(0+)，所以t≥0t\ge0t≥0
7 响应分类
固有响应和强迫响应
固有响应仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式无关。
齐次解的函数形式仅与特征方程的根有关，特征方程的根称为系统的“固有频率”，齐次解常称为系统的固有响应或自由响应。
强迫响应与激励的函数形式有关。
特解的函数形式与激励的函数形式有关，常称为强迫响应。
暂态响应和稳态响应
暂态响应是指响应中暂时出现的分量，随着时间的增长，它将消失。
稳态响应是稳定的分量，若存在，通常表现为阶跃函数和周期函数。比如，电路系统中的直流稳态响应和正弦稳态响应
《工程信号与系统》作者：郭宝龙等
国家精品课程：信号与系统 ，中国大学MOOC，郭宝龙，朱娟娟
