今天看了《计算机程序设计艺术卷1》的部分内容。也希望更深入了解一下数学归纳法。所以将网页基本算重新写了一遍，写下证明过程。

理论Theorem

13=113=1

23=3+523=3+5

33=7+9+1133=7+9+11

43=13+15+17+1943=13+15+17+19

…

总的来说：

∀n∈N>0,n3=∑ni=1(n2−n+2∗i−1)=(n2−n+1)+(n2−n+3)+...+(n2−n+2∗n−1))∀n∈N>0,n3=∑i=1n(n2−n+2∗i−1)=(n2−n+1)+(n2−n+3)+...+(n2−n+2∗n−1))，

特别说明：(n+1)3(n+1)3的第一项比n3n3的最后一项大2。

归纳法证明

∀n∈N>0,假设P(n)是n3=∑ni=1(n2−n+2∗i−1)∀n∈N>0,假设P(n)是n3=∑i=1n(n2−n+2∗i−1)

归纳法基准

P(1)成立P(1)成立，因为 13=113=1成立。

归纳法假设

假设P(k)P(k)为真，∀k>=1∀k>=1。也就是说k3=(k2−k+1)+(k2−k+3)+...+(k2−k+2k−1)k3=(k2−k+1)+(k2−k+3)+...+(k2−k+2k−1)

我们需要证明：(k+1)3=[(k+1)2−(k+1)+1]+[(k+1)2−(k+1)+3]+...+[(k+1)2−(k+1)+2(k+1)−1](k+1)3=[(k+1)2−(k+1)+1]+[(k+1)2−(k+1)+3]+...+[(k+1)2−(k+1)+2(k+1)−1]

证明步骤

因为：(k+1)2−(k+1)+j=k2−k+j+2k(k+1)2−(k+1)+j=k2−k+j+2k，所以P(k+1)P(k+1)的前k项与P(k)P(k)相比，多出2k。

令Tk=(k2−k+1)+(k2−k+3)+...+(k2−k+2k−1)Tk=(k2−k+1)+(k2−k+3)+...+(k2−k+2k−1)

T(k+1)=[(k+1)2−(k+1)+1]+[(k+1)2−(k+1)+3]+...+[(k+1)2−(k+1)+2(k+1)−1]=T(k)+k(2k)+[(k+1)2−(k+1)+2(k+1)−1]=k3+2k2+k2+2k+1+k+1−1=k3+3k2+3k+1=(k+1)3T(k+1)=[(k+1)2−(k+1)+1]+[(k+1)2−(k+1)+3]+...+[(k+1)2−(k+1)+2(k+1)−1]=T(k)+k(2k)+[(k+1)2−(k+1)+2(k+1)−1]=k3+2k2+k2+2k+1+k+1−1=k3+3k2+3k+1=(k+1)3

推出在P(k)成立的前提下，P(k+1)成立。

所以：

∀n∈N>0,n3=∑ni=1(n2−n+2∗i−1)=(n22−n+1)+(n2−n+3)+...+(n2−n+2∗n−1))∀n∈N>0,n3=∑i=1n(n2−n+2∗i−1)=(n22−n+1)+(n2−n+3)+...+(n2−n+2∗n−1))

从定义证明

∀n∈N>0,n3=∑ni=1(n2−n+2∗i−1)=(n2−n+1)+(n2−n+3)+...+(n2−n+2∗n−1))∀n∈N>0,n3=∑i=1n(n2−n+2∗i−1)=(n2−n+1)+(n2−n+3)+...+(n2−n+2∗n−1))

∑ni=1(n2−n+2∗i−1)=n3−n2+∑ni=1(2∗i−1)=n3−n2+n2=n3∑i=1n(n2−n+2∗i−1)=n3−n2+∑i=1n(2∗i−1)=n3−n2+n2=n3