Fermat’s Little Theorem费马小定理解析及证明

If p prime then (g^p) - g ≡ 0 mod p (g∈Z, g != 0)

即 g^(p-1) ≡ 1 mod p

当p是素数时，任意非零整数g，都有g^(p-1)除以p的余数等于1除以p的余数。

实际上p不一定要是素数，只要(g,p) = 1（gcd(g,p)=1）即g和p互素就可以。

引理：任意非零整数a一定有个乘法逆元b(Multiplicative inverse modulo)，使得ab ≡ 1 mod p [(a,p)=1]

即a!=0且(a,p)=1,则存在整数x,y，使得ax + py = 1。证明只需设ax0 + py0 = n，n为非零正整数且为集合中最小的元素，并证明n=1。首先n一定整除a（n|a）假如不整除，则a = nq+r ，所以代入等式发现r小于n与n最小矛盾，所以n|a，同理n|p，又因为(a,p)=1，所以n=1。

详细证明过程可以参考孙健老师的一节课（B站链接）