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数理逻辑初步：命题逻辑一阶逻辑和二阶逻辑

时间：2022-07-01 19:11:35

本文介绍命题逻辑(很少部分人叫它作零阶逻辑). 、一阶逻辑和二阶逻辑。这些形式推理的逻辑系统表达与推理能力依次增强。

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命题逻辑命题命题逻辑一阶逻辑二阶逻辑其他逻辑系统模糊逻辑

命题逻辑

命题逻辑：propositionnal logic

命题

命题有真假，所以能称得上是命题的句子有一定的特点，比如不是一个问句，肯定是一个陈述句，进一步，即使是陈述句，也未必是命题。即命题是具有真假值的陈述句。

一般，我们去判断一个陈述句是不是命题，只要想想这个陈述句是不是有判断的意味即可。比如"5<2"是一个命题，而且是一个假命题。再如“我比我爸爸年纪小"是命题，而且是一个真命题。但是，有的时候判断一个命题是难的，比如著名的“说谎者悖论”，"我在说谎“是命题吗？答案：这个是悖论，不是命题。

悖论是指同一命题中有两个对立结论，而两个结论都能自圆其说。即：事件P可以推导出事件非P；事件非P可以推导出事件P

“我在说谎”：

如果是真的，则“我在说谎”本身就是一个慌，与真的矛盾。

如果是假的。则“我在说谎”则是一个谎言，与假的又矛盾。

命题逻辑

我们确定一个命题之后，为了形式化，将这些命题都用小写字母p,q,rp,q,rp,q,r表示。然后我们使用命题连接词，将上述p,q,rp,q,rp,q,r组合成更加复杂的命题，称为命题公式，此时p,q,rp,q,rp,q,r则称为命题变元或者原子命题（即不可再分）。我们也可以把这一过程形式化为α=f(p,q,r)\alpha=f(p,q,r)α=f(p,q,r)

命题连接词：常用的有如下五个，非，且（合取），或（析取），蕴含（推出），等价（当且仅当）

例子：

设α=f(p,q,r)=p∧q∧r\alpha=f(p,q,r)=p \wedge q \wedge rα=f(p,q,r)=p∧q∧r，则若(p,q,r)=(1,1,0)(p,q,r)=(1,1,0)(p,q,r)=(1,1,0)，则命题公式α\alphaα为假。

对于一个命题公式，我们可以构造一个真值表，例如对于α=f(p,q,r)=p∧q\alpha=f(p,q,r)=p \wedge qα=f(p,q,r)=p∧q

指派(assignment)和解释(interpretation)的概念：设α=f(p1,⋯,pn)\alpha=f(p_1,\cdots,p_n)α=f(p1,⋯,pn)，其可以绘制其真值表，（同样，最后一列是因变量α\alphaα的值）。那么指派和解释为：

一阶逻辑

作为命题逻辑向一阶逻辑的过渡，请看如下经典3段论。

所有人都会死
苏格拉底是人
所以苏格拉底会死

这个逻辑关系能否用命题逻辑表达？我们先定义：

p:所有人都会死
q:苏格拉底是人
r:苏格拉底会死

似乎看起来不错，为了表达原文中的因果关系，有：(p∧q)→r(p\wedge q) \rightarrow r(p∧q)→r，这个逻辑表达式似乎也还行，但是只把原文的表层意思表达了出来。

如果用上述来表达原文的话，那么我问你，记命题变元sss为：

s:小明是人
t:小明会死

你能够得到什么结论？从原文的话，我们可以得出ttt:小明会死的结论，但是如果你忘记原文，只从用命题逻辑的角度推理，完全无法根据(p∧q)−>r(p\wedge q) ->r(p∧q)−>r和sss推出ttt。

现在我们考虑使用一阶逻辑（First-order Logic）。其也是一种形式符号推理系统，也叫一阶谓词演算、低阶谓词演算(Predicate Calculus）、限量词（Quantifier）理论，也有人称其为“谓词逻辑”，虽然这种说法不够精确。总之，不管怎么说，一阶逻辑就是一种形式推理的逻辑系统，是一种抽象推理的符号工具。

一阶逻辑不同于单纯的“命题逻辑”，因为，一阶逻辑里面使用了任意和存在。举一个一阶逻辑表达式的例子：

∃x(Math(x) → Prof(x)）

其表示：存在一个x，如果x是数学老师，那么x是教授。

再举一个例子如下：

∀\forall∀x(Math(x) → Prof(x)）

其表示：任意一个x，如果x是数学老师，那么x是教授。

看完了上面两个例子之后，大家如果静下心来想一想，不难发现，其特点在于：将命题逻辑中命题的一些名词给变量化了。为了以示区别，再举例如下：

命题逻辑中的表示：

小明是一位数学家
p:小明是一位数学家

一阶逻辑中的表示：

小明是一位数学家
math(小明)。其中math(x)表示：x是一位数学家。

这个时候，我们能够慢慢发现一阶逻辑的强大，为了证明这一点，我们可以将前面的三段论使用一阶逻辑进行完美的表示。

所有人都会死
苏格拉底是人
所以苏格拉底会死
定义：
die(x)：x会死
people(x):x是人
那么上述三段论可以表示为：
∀\forall∀ x (people(x)-> die(x))
people(“苏格拉底”)->die(“苏格拉底”)

这一次，如果小明是人，那么有people(“小明”)，我们根据∀\forall∀ x (people(x) →\rightarrow→ die(x))，可以推导出die(“小明”)，即小明会死。这次总算完美解决了。

二阶逻辑

有了一阶逻辑的概念之后，二阶逻辑水到渠成。假设你要将如下语句翻译成逻辑：

Leibniz Law: “对于任意个体x和y, 只要x和y相等, 那么x,y具有相同的性质”

那么显然，翻译如下：

P(z):z具有性质P。
E(u,v):u和v相等。
那么从而翻译为：
∀x,y[E(x,y)→∀P(P(x)↔P(y)]\forall x,y \quad [E(x,y)\rightarrow \forall P(P(x)\leftrightarrow P(y)]∀x,y[E(x,y)→∀P(P(x)↔P(y)]

看到上面我给出的表示，细心的人应该能够发现，这次量词符号竟然作用在谓词符号上∀P\forall P∀P,之前我们在一阶谓词中只允许量词作用在个体上，例如∀xP(x)\forall x \quad P(x)∀xP(x)。这就是一阶逻辑和二阶逻辑的区别。

对了，上面的表示非常完美，读者应当细细品味。