文章目录
1.内积（点积）2.核方法 [^1]3.核方法的定义和例子[^2]4. 常见的核方法4.1 线性核4.2 多项式核1.内积（点积）
内积，又叫做点积，数量积或标量积。假设存在两个向量a=[a1,a2,...,an]a=[a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}]a=[a1,a2,...,an]和b=[b1,b2,...,bn]b=[b_{1},b_{2},...,b_{n}]b=[b1,b2,...,bn]，内积的计算方法为：
a⋅b=a1b1+a2b2+⋯+anbna\cdot b= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n} a⋅b=a1b1+a2b2+⋯+anbn
2.核方法1
核方法的主要思想是基于这样一个假设：“在低维空间中不能线性分割的点集，通过转化为高维空间中的点集时，很有可能变为线性可分的” ，例如有两类数据，一类为x<a∪x>bx<a\cup x>bx<a∪x>b；另一部分为a<x<ba<x<ba<x<b。要想在一维空间上线性分开是不可能的。然而我们可以通过F(x)=(x-a)(x-b)把一维空间上的点转化到二维空间上，这样就可以划分两类数据F(x)>0F(x)>0F(x)>0，F(x)<0F(x)<0F(x)<0；从而实现线性分割。如下图所示：
定义一个核函数K(x1,x2)=⟨ϕ(x1),ϕ(x2)⟩K(x_{1},x_{2})=\left \langle \phi (x_{1}),\phi (x_{2})\right \rangleK(x1,x2)=⟨ϕ(x1),ϕ(x2)⟩, 其中x1x_{1}x1和x2x_{2}x2是低维度空间中的点（在这里可以是标量，也可以是向量），ϕ(xi)\phi (x_{i})ϕ(xi)是低维度空间的点转化为高维度空间中的点的表示，⟨,⟩\left \langle ,\right \rangle⟨,⟩表示向量的内积。这里核函数的表达方式一般都不会显式地写为内积的形式，即我们不关心高维度空间的形式。
这里有个很重要的问题，就是我们为什么要关心内积。一般的我们可以把分类或回归问题分为两类：参数学习和基于实例的学习。参数学习就是通过一堆训练数据把模型的参数学习出来，训练完成之后训练数据就没有用了，新数据使用已经训练好的模型进行预测，例如人工神经网络。而基于实例的学习（又叫基于内存的学习)是在预测的时候会使用训练数据，例如KNN算法，会计算新样本与训练样本的相似度。计算相似度一般通过向量的内积来表示。从这里可以看出，核方法不是万能的，它一般只针对基于实例的学习。
3.核方法的定义和例子2
给定一个映射关系ϕ\phiϕ，我们定义相应的核函数为:
K(x,y)=ϕ(x)Tϕ(y)K(x,y)=\phi (x)^{T}\phi (y) K(x,y)=ϕ(x)Tϕ(y)
则内积运算<ϕ(x),ϕ(y)><\phi (x), \phi (y)><ϕ(x),ϕ(y)>可以用核K(x,y)K(x,y)K(x,y)来表示。
例如，给定两个nnn维向量xxx和yyy，x,y∈Rnx,y\in \mathbb{R}^{n}x,y∈Rn，我们定义一个核函数K(x,y)=(xTy)2K(x,y)=(x^{T}y)^{2}K(x,y)=(xTy)2，将该二次多项式展开会得到如下表达式：(x1y1+...+xnyn)2(x_{1}y_{1}+...+x_{n}y_{n})^{2}(x1y1+...+xnyn)2。
但K(x,y)K(x,y)K(x,y)还可以写成：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ K(x,y)&=(x^{T}…
如果nnn为2的话，即xT=(x1,x2)x^{T}=(x_{1},x_{2})xT=(x1,x2)，yT=(y1,y2)y^{T}=(y_{1},y_{2})yT=(y1,y2)。若直接对(xTy)2(x^{T}y)^{2}(xTy)2进行计算
(xTy)2=(x1y1+x2y2)2=(x1y1)2+2x1y1x2y2+(x2y2)2(x^{T}y)^{2}=(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}=(x_{1}y_{1})^{2}+2x_{1}y_{1}x_{2}y_{2}+(x_{2}y_{2})^{2} (xTy)2=(x1y1+x2y2)2=(x1y1)2+2x1y1x2y2+(x2y2)2
如果我们先对xxx和yyy进行映射，ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)可以将xxx映射为：
ϕ(x)=[x1x1x1x2x2x1x2x2]\phi (x)=\begin{bmatrix} x_{1}x_{1}\\ x_{1}x_{2}\\ x_{2}x_{1}\\ x_{2}x_{2}\\ \end{bmatrix} ϕ(x)=⎣⎢⎢⎡x1x1x1x2x2x1x2x2⎦⎥⎥⎤
ϕ(y)\phi(y)ϕ(y)可以将yyy映射为：
ϕ(y)=[y1y1y1y2y2y1y2y2]\phi (y)=\begin{bmatrix} y_{1}y_{1}\\ y_{1}y_{2}\\ y_{2}y_{1}\\ y_{2}y_{2}\\ \end{bmatrix}ϕ(y)=⎣⎢⎢⎡y1y1y1y2y2y1y2y2⎦⎥⎥⎤
然后再对ϕ(x)\phi (x)ϕ(x)和ϕ(y)\phi (y)ϕ(y)进行内积运算：
<ϕ(x),ϕ(y)>=(x1y1)2+2x1x2y1y2+(x2y2)2<\phi (x), \phi (y)>=(x_{1}y_{1})^{2}+2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}+(x_{2}y_{2})^{2} <ϕ(x),ϕ(y)>=(x1y1)2+2x1x2y1y2+(x2y2)2
我们发现结果和直接展开运算一样，但是直接展开经过了一次平方运算，复杂度为O(n2)O(n^{2})O(n2)，而经过映射之后只需一次内积运算，复杂度为O(n)O(n)O(n)，大大提高了效率。
再比如，对于核函数：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ K(x,y)&=(x^{T}…
同上，若xxx和yyy均为二维向量，则映射函数为:
ϕ=[x1x1x1x2x2x1x2x22cx12cx2]\phi =\begin{bmatrix} x_{1}x_{1}\\ x_{1}x_{2}\\ x_{2}x_{1}\\ x_{2}x_{2}\\ \sqrt{2c}x_{1}\\ \sqrt{2c}x_{2}\\ \end{bmatrix} ϕ=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x1x1x1x2x2x1x2x22cx12cx2⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
从多项式可以看到，参数ccc控制着一阶和二阶多项式的权重。如果将二阶多项式推广到ddd阶，则核函数K(x,y)=(xTy+c)dK(x,y)=(x^{T}y+c)^{d}K(x,y)=(xTy+c)d会将原来的向量映射到(n+dd)\begin{pmatrix} n+d\\ d\\\end{pmatrix}(n+dd)维，尽管在该空间中的复杂度为O(nd)O(n^{d})O(nd)，但经过$\phi 映射后计算复杂度为映射后计算复杂度为映射后计算复杂度为O(n)$。
4. 常见的核方法
常见的三种核方法：
线性核(Linear kernel)：K(x,y)=xTyK(x,y)=x^{T}yK(x,y)=xTy
径向基核(Radial basis function kernel, RBF kernel)：K(x,y)=exp(−γ∥x−y∥2)K(x,y)=exp(-\gamma \left \| x-y\right \|^{2})K(x,y)=exp(−γ∥x−y∥2)
ddd次多项式核(Polynomial kernel)：K(x,y)=(xTy+c)dK(x,y)=(x^{T}y+c)^{d}K(x,y)=(xTy+c)d
下面我们依次使用这些核函数对非线性问题进行分类，如下图所示，有两个待分类标签，显然他们在二维空间是线性不可分的，我们需要使用核函数把它们映射到更高维空间中，让它们线性可分。
4.1 线性核
核函数：
K(x,y)=xTyK(x,y)=x^{T}y K(x,y)=xTy
令x=(x1,x2)Tx=(x_{1},x_{2})^{T}x=(x1,x2)T，y=(y1,y2)Ty=(y_{1},y_{2})^{T}y=(y1,y2)T，即维度为2，我们得到：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ K(\begin{pmatr…
可以看到线性核的映射ϕ(x)\phi (x)ϕ(x)就是xxx本身。
代码：
import numpy as npimport pandas as pdimport seaborn as snsfrom matplotlib import pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfrom mpl_toolkits import mplot3dfrom IPython.display import HTML, Image%matplotlib inlinesns.set()from sklearn.datasets import make_circlesdef feature_map_1(X):return np.asarray((X[:,0], X[:,1], X[:,0]*X[:,1])).TX, y = make_circles(100, factor=.1, noise=.1)Z = feature_map_1(X)#2D scatter plotfig = plt.figure(figsize = (16,8))ax = fig.add_subplot(1, 2, 1)ax.scatter(X[:,0], X[:,1], c = y, cmap = 'viridis')ax.set_xlabel('$x_1$')ax.set_ylabel('$x_2$')ax.set_title('Original dataset')#3D scatter plotax = fig.add_subplot(1, 2, 2, projection='3d')ax.scatter3D(Z[:,0],Z[:,1], Z[:,2],c = y, cmap = 'viridis' ) #,rstride = 5, cstride = 5, cmap = 'jet', alpha = .4, edgecolor = 'none' )ax.set_xlabel('$z_1$')ax.set_ylabel('$z_2$')ax.set_zlabel('$z_3$')ax.set_title('Transformed dataset')
我们将线性核函数映射后的数据可视化，得到的结果如图3所示，但从结果发现，线性映射之后的数据点仍然不是线性可分的。
4.2 多项式核
二维二阶多项式核函数：
因此，ϕ((x1x2))=(2x1x2x12x22)\phi (\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\ \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} \sqrt{2}x_{1}x_{2}\\ x_{1}^{2}\\ x_{2}^{2}\\ \end{pmatrix}ϕ((x1x2))=⎝⎛2x1x2x12x22⎠⎞
画出经二阶多项式映射后的数据分布：
import numpy as npimport pandas as pdimport seaborn as snsfrom matplotlib import pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfrom mpl_toolkits import mplot3dfrom IPython.display import HTML, Image#%matplotlib inlinesns.set()from sklearn.datasets import make_circlesdef feature_map_0(X):return np.asarray((X[:,0]**2, X[:,1]**2, np.sqrt(2)*X[:,0]*X[:,1])).TX, y = make_circles(100, factor=.1, noise=.1)Z = feature_map_0(X)#2D scatter plotfig = plt.figure(figsize = (16,8))ax = fig.add_subplot(1, 2, 1)ax.scatter(X[:,0], X[:,1], c = y, cmap = 'viridis')ax.set_xlabel('$x_1$')ax.set_ylabel('$x_2$')ax.set_title('Original dataset')#3D scatter plotax = fig.add_subplot(1, 2, 2, projection='3d')ax.scatter3D(Z[:,0],Z[:,1], Z[:,2],c = y, cmap = 'viridis' ) #,rstride = 5, cstride = 5, cmap = 'jet', alpha = .4, edgecolor = 'none' )ax.set_xlabel('$z_1$')ax.set_ylabel('$z_2$')ax.set_zlabel('$z_3$')ax.set_title('Transformed dataset')
本文原载于我的简书。
参考
核方法 ↩︎
Kernels and Feature maps: Theory and intuition ↩︎
