（好久没写知乎文章了，又不知道该写什么，就随便水一水吧）
二项分布：
次试验，每次试验有 的概率出现目标事件，记 为 次试验后出现目标事件的次数；
负二项分布：若干次试验，每次试验有
的概率出现目标事件，记 为出现 次目标事件所需要的总试验次数。
首先我们先用最暴力的方法来直接推导它们的期望和方差。
直接算E(X)和Var(X)
二项分布的pmf：
那么：
把
提出来，容易观察得出剩下那一部分也是一个二项分布的pmf，只不过 变成了 ， 变成了 ，那么它求和后结果为1.
因此：
为计算
，我们先计算 ：
右边两个求和，是将
拆成 的结果，显然第一个求和为二项分布 的均值，第二个求和为二项分布pmf的和，即1。
因此：
那么：
现在我们再来算负二项分布的
和 。
负二项分布的pmf：
那么：
显然右边的求和式对应着负二项分布
为 时的pmf，因此求和为1.
故
另外，
因此：
（其实，在推导中pmf和为1的隐藏结论是需要通过级数去推的，这也意味着上述式子可以化成特殊级数形式，读者可以自行证明）
用mgf进行计算会比上述方法稍微简单一些。
MGF计算
定义
则：
那么：
那么对于二项分布：
故：
对于负二项分布：
观察和式，令
因此：
则：
故：
当然，我们还可以把二项分布和负二项分布分别拆成若干次独立试验。
利用伯努利分布和几何分布
伯努利分布：可以看作二项分布中的单次试验，即
；
几何分布：可以看作负二项分布中
的情况。
二项分布中的
次试验相互独立，因此可以看作 次相互独立的伯努利试验。
而单次伯努利试验的期望：
方差：
所以二项分布的均值：
方差：
同理，我们计算几何分布的均值：
两式相减：
则：
计算方差前，计算
：
令
，则：
令
则：
错位相减得：
则：
而对于
，我们将其拆成：
令
则
错位相减得：
则：
故
所以
那么
那么负二项分布的均值与方差为：
