1.常用泰勒公式

PS:没有展开到n阶是因为考试往往只会展开到如下阶数，竞赛除外

sinx=x−x36+o(x3)、arcsinx=x+x36+o(x3)sinx =x-\frac{x^3}{6}+o(x^3) 、arcsinx = x+\frac{x^3}{6}+o(x^3) sinx=x−6x3​+o(x3)、arcsinx=x+6x3​+o(x3)

tanx=x+x33+o(x3)、arcsinx=x−x33+o(x3)tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) 、arcsinx = x-\frac{x^3}{3}+o(x^3) tanx=x+3x3​+o(x3)、arcsinx=x−3x3​+o(x3)

cosx=1−x22!+x44!+o(x4)cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4) cosx=1−2!x2​+4!x4​+o(x4)

ex=1+x+x22!+x33!+o(x3)e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) ex=1+x+2!x2​+3!x3​+o(x3)

ln(1+x)=x−x22+x33+o(x3)ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3) ln(1+x)=x−2x2​+3x3​+o(x3)

(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+o(x2)(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) (1+x)α=1+αx+2α(α−1)​x2+o(x2)

11−x=1+x+x2+x3+x4+o(x4)\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+o(x^4) 1−x1​=1+x+x2+x3+x4+o(x4)

11+x=1−x+x2−x3+x4+o(x4)\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4+o(x^4) 1+x1​=1−x+x2−x3+x4+o(x4)

2.常用等价无穷小

最基础9个等价无穷小

三角函数（5个）：sinxsinxsinx ~ xxx 、tanxtanxtanx ~ xxx、arcsinxarcsinxarcsinx ~ xxx 、arctanxarctanxarctanx ~ xxx、1−cosx1-cosx1−cosx ~ 12x2\frac{1}{2}x^221​x2

指数、对数（3个）：ex−1e^x-1ex−1 ~ xxx 、 ln(1+x)ln(1+x)ln(1+x) ~ xxx 、ax−1a^x-1ax−1 ~ xlnaxlnaxlna

幂函数（1个）：(1+x)a−1(1+x)^a-1(1+x)a−1 ~ axaxax

需要熟练掌握的

本质是用泰勒展开与x进行相减,或者由洛必达和定义推导而来，记住，可加快做题速度和正确率

ln(x+1+x2)ln(x+\sqrt{1+x^2})ln(x+1+x2​)~xxx

x−sinxx-sinxx−sinx ~ 16x3\frac{1}{6}x^361​x3、x−arcsinxx-arcsinxx−arcsinx ~ −16x3-\frac{1}{6}x^3−61​x3

x−tanxx-tanxx−tanx ~ −13x3-\frac{1}{3}x^3−31​x3、x−arctanxx-arctanxx−arctanx ~ 13x3\frac{1}{3}x^331​x3

3.吸收律

若β\betaβ是α\alphaα的高阶无穷小，即lim⁡βα=0,\lim\frac{\beta}{\alpha}=0,limαβ​=0,则α±β\alpha±\betaα±β~α\alphaα

这说明高价无穷小在加减中可略去。

如，由于lim⁡x→0x3x2=0,于是x2−x3～x2如，由于\lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2}=0,于是x^2-x^3～x^2如，由于x→0lim​x2x3​=0,于是x2−x3～x2