问题的提出
牛吃草问题是一个经典的数学问题,最早出现在科学家牛顿的一本著作中,问题内容是:
有一块牧场草地,长得一样密,一样快。有一些牛在该草地上吃草,若每头牛每天吃的草量相同,如果饲养27头牛,这些牛6天可以把草吃完;如果饲养23头牛,这些牛9天可以把草吃完;如果饲养21头牛,这些牛多少天可以把草吃完?
建立问题的数学模型
应用问题的解决,对问题的理解非常重要,找出问题各种量之间的关系,是建立模型的关键。
在这个问题中涉及的量有牛的数量、草的总量、牛吃草的天数。在这些量中,草的总量是动态变化的,即牛每天在吃草,草则每天在生长。
草的总量由两部分总成,一部分是草原有的量,一部分是草新生长的量。当这些牛把草全部吃完后,这些牛吃草的总量就等于草的总量。
在问题中给出了两个已知条件:一个条件是27头牛,6天可以把草吃完;另外一个条件是23头牛9天可以把草吃完。如果设牛每天吃草的量为y,草地中原有的量为a,草每天生长的量为,根据已知条件,可以列出下面的方程组:
化解方程组:
解方程组可以求得和y的值,是草每天的生长量,y是一头牛每天吃的草量。
要解决的问题是求21头牛,多少天可以把草吃完。如果设z天可以把草吃完,则得出下面的方程:
由此得出:
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