归纳法由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法。那怎么用归纳法来证明不等式呢? 接下来学习啦小编为你整理了数学归纳法证明不等式,一起来看看吧。
数学归纳法证明不等式的基本知识
数学归纳法的基本原理、步骤和使用范围
(1)在数学里,常用的推理方法可分为演绎法和归纳法,演绎法一般到特殊,归纳法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常叫归纳法。在归纳时,如果逐个考察了某类事件的所有可能情况,因而得出一般结论,那么结论是可靠的.这种归纳法叫完全归纳法(通常也叫枚举法)如果考察的只是某件事的部分情况,就得出一般结论,这种归纳法叫完全归纳法.这时得出的结论不一定可靠。数学问题中,有一类问题是与自然数有关的命题,因为自然数有无限多个,我们不可能就所有的自然数一一加以验证,所以用完全归纳法是不可能的.然而只就部分自然数进行验证所得到的结论,是不一定可靠的
例如一个数列的通项公式是an(n25n5)2
容易验证a1=1,a2=1,a3=1,a4=1,如果由此作出结论——对于任何nN+, an(n25n5)2=1都成立,那是错误的.
事实上,a5=25≠1.
因此,就需要寻求证明这一类命题的一种切实可行、比较简便而又满足逻辑严谨性要求的新的方法——数学归纳法.
(2)数学归纳法是一种重要的数学证明方法,其中递推思想起主要作用。形象地说,多米诺骨牌游戏是递推思想的一个模型,数学归纳法的基本原理相当于有无限多张牌的多米诺骨牌游戏,其核心是归纳递推.
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用一下两个步骤:(1)证明当n=n0(例如n0=1或2等)时命题成立;
(2)假设当n=k(kN,且k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于不小于n0所有自然数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
自然数公理(皮亚诺公理)中的“归纳公理”是数学归纳法的理论根据,数学归纳法的两步证明恰是验证这条公理所说的两个性质.数学归纳法的适用范围仅限于与自然数n有关的命题.这里的n是任意的正整数,它可取无限多个值.
附录:下面是自然数的皮亚诺公理,供有兴趣的同学阅读.
任何一个象下面所说的非空集合N的元素叫做自然数,在这个集合中的某些元素a与b之间存在着一种基本关系:数b是数a后面的一个“直接后续”数,并且满足下列公理:
①1是一个自然数;
②在自然数集合中,每个自然数a有一个确定“直接后续”数a’;
③a’≠1,即1不是任何自然数的“直接后续”数;
④由a’ =b’推出a=b,这就是说,每个自然数只能是另一个自然数的“直接后续”数;
⑤设M是自然数的一个集合,如果它具有下列性质:(Ⅰ)自然数1属于M,(Ⅱ)如果自然数a属于M,那么它的一个“直接后续”数a’也属于M,则集合M包含一切自然数.
其中第5条公理又叫做归纳公理,它是数学归纳法的依据.
(3)数学归纳法可以证明与自然数有关的命题,但是,并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明.
例如用数学归纳法证明(1+1)n(n N)的单调性就难以实现.一般来说,n
从k=n到k=n+1时,如果问题中存在可利用的递推关系,则数学归纳法有用武之地,否则使用数学归纳法就有困难.
数学归纳法证明不等式例题